Einselement, Maximales Ideal

18.02.2015, 22:55	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Einselement, Maximales Ideal Zeigen Sie das $\begin{eqnarray} R=2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ein maximales Ideal M enthält, aber $\begin{eqnarray} R/M \end{eqnarray}$ kein Körper ist. Hi, $\begin{eqnarray} M:=4 \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (4)=\bigcap_{4 \subseteq I, I \mbox{Ideal}} I \Rightarrow (4) \end{eqnarray}$ Ideal als Durchschnitt von Idealen. Sei $\begin{eqnarray} (4) \subseteq I \subseteq R \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring ist folgt auch, dass in $\begin{eqnarray} R=2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ jedes Ideal ein Hauptideal ist. $\begin{eqnarray} I=(a) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in 2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (4) \subseteq (a) \Rightarrow a\|4 \Rightarrow a \in \{1,2,4\} \Rightarrow a \in \{2,4\} \Rightarrow I=R\vee I=M \end{eqnarray}$ Zu zeigen: $\begin{eqnarray} R/M \end{eqnarray}$ ist kein Körper $\begin{eqnarray} R/M=\{r + M\| r \in R\}=\{2z_i + 4\mathbb{Z}\|z_i \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R/M \end{eqnarray}$ enthält denke ich kein Einselement: Sei $\begin{eqnarray} a\in R/M \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} a=2z_1+4\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2z_1+4\mathbb{Z})(2z_2+4\mathbb{Z})=4 z_1z_2 + 4 \mathbb{Z}=4 \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} 4z_1z_2 \in 4\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Also zwei Elemente miteinander multipliziert ergibt immer das Nullelement M. Aber $\begin{eqnarray} R/M \end{eqnarray}$ ist nicht der Nullring da $\begin{eqnarray} 2 + 4\mathbb{Z}\not= 4 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ Also gibt es für diese Elemente kein Einselement. Richtig?
19.02.2015, 16:03	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einselement, Maximales Ideal Zur Maximalität von M in R: Das ist im wesentlichen richtig. Die Tatsache, dass $\begin{align} \overline 0 = \overline 2^2\in R/M \end{align}$ , zeigt schon, dass $\begin{align} R/M \end{align}$ kein Körper sein kann (Körper sind nullteilerfrei). Der Faktorring hat nur zwei Elemente, $\begin{align} R/M = \{\overline 0, \overline 2\} \end{align}$ .
19.02.2015, 22:12	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah verstehe danke! Was würdest du den an dem Beweis für M ist ein maximales Ideal verbessern? Im wesentlichen hört sich so an, als wäre es nicht gut aufgeschrieben.. Liebe Grüße

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