Sattelpunkte, Extremwerte

19.02.2015, 10:06

Eva Bumblebee

Sattelpunkte, Extremwerte

Meine Frage:
Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+cos(2y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |y|<2 \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Sattelpunkte sowie die relativen Extremwerte inklusive dem Nachweis, ob es sich jeweils um Minimum oder Maximum handelt.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+cos(2y) f_{x}(x,y)=2x f_{y}(x,y)=-2*sin(2y) f_{xx}(x,y)=2 f_{yy}(x,y)=-4*cos(2y) f_{xy}(x,y)=0 f_{yx}(x,y)=0 f_{x}(x,y)=2x=0 wenn x=0 f_{y}(x,y)=-2*sin(2y)=0 wenn y=0 \vee y=\pi \vee ... H(f)(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} H(f)(0,0)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} => (2-\lambda )(-4-\lambda ) => \lambda _{1}=2 \wedge \lambda _{2}=-4 => indefinit => Sattelpunkt \end{eqnarray*}$

Gibt es also keine Extremwerte???

19.02.2015, 10:13

klarsoweit

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RE: Sattelpunkte, Extremwerte

Zitat:

Original von Eva Bumblebee
$\begin{eqnarray*} f_{y}(x,y)=-2*sin(2y)=0 wenn y=0 \vee y=\pi \vee ... \end{eqnarray*}$

Zum einen liegt pi nicht im Definitionsbereich, zum anderen hast du andere noch vorhandene Nullstellen unterschlagen. smile

19.02.2015, 10:20

Eva Bumblebee

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RE: Sattelpunkte, Extremwerte
$\begin{eqnarray*} y=\pi/2 \end{eqnarray*}$
dann habe ich ein (positiv definit) Minimum!

19.02.2015, 10:26

klarsoweit

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RE: Sattelpunkte, Extremwerte
Es fehlt immer noch eine Nullstelle. Nicht umsonst habe ich von "Nullstellen" geredet. smile

19.02.2015, 10:34

Eva Bumblebee

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RE: Sattelpunkte, Extremwerte
Ich komm nicht drauf unglücklich

19.02.2015, 10:39

klarsoweit

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RE: Sattelpunkte, Extremwerte
Du könntest ja auch mal auf der negativen y-Achse suchen. Augenzwinkern

19.02.2015, 10:46

Eva Bumblebee

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RE: Sattelpunkte, Extremwerte
Aber y steht doch im Betrag, dadurch ergeben sich doch wieder die gleichen Nullstellen wie im Positiven oder nicht?

19.02.2015, 11:00

klarsoweit

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RE: Sattelpunkte, Extremwerte
Verstehe nicht, was du sagen willst. Hast du denn mal auf der negativen y-Achse gesucht?

19.02.2015, 11:04

Eva Bumblebee

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RE: Sattelpunkte, Extremwerte
Ich dachte weil |y|<2 gibt es doch keine negativen Nullstellen auf der y-Achse?

19.02.2015, 11:11

HAL 9000

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Offenbar verwechselst du Argument und Funktionswert der Betragsfunktion. unglücklich

Natürlich gibt es negative $\begin{align*} y \end{align*}$ , die die Ungleichung $\begin{align*} |y|<2 \end{align*}$ erfüllen!

$\begin{align*} |y|<2 \end{align*}$ ist im Reellen äquivalent zu $\begin{align*} -2<y<2 \end{align*}$ .

19.02.2015, 11:45

Eva Bumblebee

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Also habe ich noch $\begin{eqnarray*} y=-\pi/2 \end{eqnarray*}$ ?

19.02.2015, 13:06

Magix

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Erfüllt $\begin{eqnarray*} y=-{\pi \over 2} \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |y|<2 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} |-{\pi \over 2}| = {\pi \over 2} < 2 \end{eqnarray*}$ Freude