Lineare Abbildungen, Surjektiv, Injektiv

19.02.2015, 11:12

phi28

Lineare Abbildungen, Surjektiv, Injektiv

Hallo,

habe noch etwas Probleme mit den Begriffe surjektiv und injektiv bei linearen Abbildungen (Matrizen). Beispielsweise sind folgende Abbildungen gegeben:

(a) $\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb{R}^5 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$
(b) $\begin{eqnarray*} B=(v_1, v_2, v_3), \varphi : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3, v_1=(1,1,0), v_2=(0,1,0), v_3=(1,2,3), A=\begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 & 1\\<br /> 1 & 1 & 0\\<br /> 0 & 0 & 1\\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie finde ich schnell heraus, ob die linearen Abbildungen ggfs. surjektiv, injektiv oder auch ein Isomorphismus sind.

Gruß

19.02.2015, 11:50

Elvis

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Ein Endomorphismus eines endlichen Vektorraums ist genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist.
Er ist genau dann ein Automorphismus, d.h. bijektiv, wenn die Determinante ungleich 0 ist.
Damit ist b) beantwortet. (Allerdings ist deine Schreibweise sehr merkwürdig.)
Zu a) kann man nichts sagen, weil die Abbildung unbekannt ist. Injektiv kann sie allerdings nicht sein.

20.02.2015, 17:35

phi28

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Zitat:

Original von Elvis
Ein Endomorphismus eines endlichen Vektorraums ist genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist.
Er ist genau dann ein Automorphismus, d.h. bijektiv, wenn die Determinante ungleich 0 ist.
Damit ist b) beantwortet. (Allerdings ist deine Schreibweise sehr merkwürdig.)
Zu a) kann man nichts sagen, weil die Abbildung unbekannt ist. Injektiv kann sie allerdings nicht sein.

Naja in der Aufgabe ist zu a) folgendes gefragt:

Ist die Abbildung surjektiv?
Ist die Abbildung injektiv?
Ist phi(0)=0?

20.02.2015, 17:54

Elvis

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Welche Abbildung. Wir wissen nur, dass sie von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ geht.

20.02.2015, 18:00

phi28

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Zitat:

Original von Elvis
Welche Abbildung. Wir wissen nur, dass sie von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ geht.

Mehr Informationen sind nicht gegeben ...

20.02.2015, 18:07

Elvis

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Ja gut. Wenn die Abbildung linear ist, bildet sie 0 auf 0 ab, und sie ist nicht injektiv. Ob sie surjektiv ist, weiß man nicht.