Ebenengleichung umschreiben

19.02.2015, 14:38

Tommos

Ebenengleichung umschreiben

Hallo matheboard,
ich habe es mit einer Ebenengleichung in folgender Form zu tun:

$\begin{eqnarray*} P=[{(u ; 1 + u + v ; v ) : u;v -element: R}] \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich initial nicht, was ich damit anfangen soll. Die drei Komponenten beschreiben x,y,z aber wie bekomme ich die Richtungsvektoren/Stützvektor? Sind die Elemente u und v die Richtunsvektoren?
Also ihr seht ich bin etwas verwirrt und weiß nicht, wie ich Nachfolgeaufgaben wir Schnittwinkel usw. machen soll wenn ich die nicht in Normalform bekomme.
Vielen Dank im Voraus.

19.02.2015, 14:50

Dopap

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u und v sind aus R, also Parameter !

jetzt schreib mal schön von oben nach unten:

x=...
y=...
z=...

19.02.2015, 14:55

Tommos

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richtig, dann habe ich:
x=u
y=1+u+v
z=v

Das heißt ich bestimme u und v frei, setze dann dreimal ein und bekomme 3 Punkte, um meine Ebene zu definieren?

19.02.2015, 15:12

Dopap

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das wäre eine ( umständliche ) Möglichkeit.

2.)

code:
1: 2: 3: 4: 5:	X= 0 +1u +0v y= 1 +1u +1v z= 0 + 0 +1v

wenn du jetzt das in Spalten schreibst und u und v ausklammerst steht die Parameterform da.

3.) aus den 3 Gleichungen die Parameter entfernen ----> Normalenform,

was direkt zu y=1+x+z führt. smile

19.02.2015, 15:46

Tommos

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Ok, also wäre ich bei
$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Also der Normalenvektor hat das den Wert: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ok dann setze ich (0,1,0) ein und erhalte -1 ?
Ich käme dann auf x-y+z=-1

19.02.2015, 16:05

Tommos

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...ach is ja genau deine Lösung...alles klar, danke für die Hilfe Big Laugh

19.02.2015, 17:51

Dopap

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Zitat:

Original von Tommos
Ok, also wäre ich bei
$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

korrekterweise so:

$\begin{eqnarray*} E: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + v\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad u,v \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

19.02.2015, 20:53

Tommos

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...stimmt, die Nachlässigkeit fällt einem früher oder später auf die Füße...danke nochmal.

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