Bogenlänge der Archimedesspirale

19.02.2015, 17:38

DrHWI

Bogenlänge der Archimedesspirale

Meine Frage:
Hallo, Wink

wieder einmal habe ich ein Problem. Dieses Mal lautet es wie folgt:
Zu bestimmen ist die Bogenlänge der Archimedesspirale $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2}a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [0; \pi] \end{eqnarray*}$ . Verwenden Sie $\begin{eqnarray*} x = r(a)cos(a);\, y=r(a)sin(a) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Kann mir hierbei jemand bitte, bitte helfen? Ich weiß nicht einmal, wie ich anfangen soll, abzuleiten. Die Bogenlänge ist für mich noch ein ganz neues Thema. Ich habe die Theorie verstanden, aber die in die Praxis umzusetzen? Das scheint mir unmöglich. unglücklich

Wäre sehr dankbar für Hinweise und Tipps!

19.02.2015, 18:50

outSchool

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RE: Bogenlänge der Archimedesspirale
Hallo!

Zitat:

Original von DrHWI
Zu bestimmen ist die Bogenlänge der Archimedesspirale $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2}a \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} [0; \pi] \end{eqnarray*}$ . Verwenden Sie $\begin{eqnarray*} x = r(a)cos(a);\, y=r(a)sin(a) \end{eqnarray*}$ .

Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{align*} r=\frac{1}{2}a \end{align*}$ gleich $\begin{align*} r(a)=\frac{1}{2}a \end{align*}$ bedeuten soll. Dann gibt das

$\begin{align*} \varphi(a) = \frac{a}{2} \begin{pmatrix} \cos(a) \\ \sin(a) \end{pmatrix} \end{align*}$ und

$\begin{align*} \varphi_x(a) = \frac{a}{2} \cdot \cos(a) \end{align*}$ und

$\begin{align*} \varphi_y(a) = \frac{a}{2} \cdot \sin(a) \end{align*}$

Wie sehen jetzt die Ableitungen $\begin{align*} \varphi_x'(a) \end{align*}$ und $\begin{align*} \varphi_y'(a) \end{align*}$ aus? (Produktregel nicht vergessen)

$\begin{align*} \end{align*}$

19.02.2015, 21:10

DrHWI

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Ich habe für $\begin{eqnarray*} \varphi'_x(a)=\frac{1}{2}cos(a)-\frac{1}{2}a*sin(a) \end{eqnarray*}$ abgeleitet und für $\begin{eqnarray*} \varphi'_y(a)=\frac{1}{2}sin(a)+\frac{1}{2}a*cos(a) \end{eqnarray*}$ . smile

19.02.2015, 21:11

outSchool

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Ja, alles richtig. Wie geht es weiter?

19.02.2015, 21:45

DrHWI

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Entweder es gibt einen Weg des Vereinfachens (ich habe auf die Schnelle keine Möglichkeit im Netz oder in meiner Formelsammlung gefunden) oder beide Ableitungen werden nun in die Formel $\begin{eqnarray*} s=\int_{a}^{b} \! \sqrt{\varphi'_x(a)^2+\varphi'_y(a)^2}\, da \end{eqnarray*}$ eingesetzt? Aber ich habe das Gefühl, ich muss noch irgendetwas substituieren? Ich werde aus der Formel nicht ganz schlau...

19.02.2015, 21:55

outSchool

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Zitat:

Original von DrHWI
. . . oder beide Ableitungen werden nun in die Formel $\begin{eqnarray*} s=\int_{a}^{b} \! \sqrt{\varphi'_x(a)^2+\varphi'_y(a)^2}\, da \end{eqnarray*}$ eingesetzt?

Nicht beide Ableitungen, sondern $\begin{align*} (\varphi'_x(a))^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} (\varphi'_y(a))^2 \end{align*}$ werden eingesetzt.

Rechne mal $\begin{align*} (\varphi'_x(a))^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} (\varphi'_y(a))^2 \end{align*}$ aus und schreibe die Ergebnisse untereinander.

19.02.2015, 22:11

DrHWI

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Das wären dann also
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}cos^2(a)-\frac{1}{2}a*cos(a)*sin(a)+\frac{1}{4}a^2*sin^2(a) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}sin^2(a)+\frac{1}{2}a*cos(a)*sin(a)+\frac{1}{4}a^2*cos^2(a) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das miteinander addiere

$\begin{eqnarray*} \frac{cos^2(a)+sin^2(a)}{4}+0+\frac{1}{4}a^2(sin^2(a)+cos^2(a)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(1+a^2) \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int \! \sqrt{1+a^2} \, da \end{eqnarray*}$ nenne, dann komme ich wieder auf den Therm, mit dem ich über a=sinh(u) bzw. da= cosh(u) substituieren kann, oder? Läuft das etwa auf dasselbe Prinzip hinaus? verwirrt

19.02.2015, 22:21

outSchool

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Einkleiner Fehler hat sich eingeschlichen, es ist

$\begin{align*} \sqrt{\frac{1}{4}(1 + a^2) } = \frac{1}{2} \sqrt{1 + a^2 } \end{align*}$

aber sonst ist alles richtig. Und das Integral

$\begin{align*} \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi } \! \sqrt{1 + a^2 } \, da \end{align*}$ haben wir ja ausführlich besprochen.

Super! Freude

19.02.2015, 22:28

DrHWI

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Nochmals wirklich vielen Dank für die gute Hilfe! Gott

Ich freue mich, dass mir dieses Mal der letzte, bereits bekannte Teil der Aufgabe schon flüssig von der Hand ging! Ich habe wirklich daraus gelernt. smile

19.02.2015, 22:32

outSchool

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Freut mich für dich. smile

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