Verkettung von Funktionen

19.02.2015, 23:39

idur

Verkettung von Funktionen

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe eine Aufagen wo ich die Richtigkeit einer Aussage feststellen und begreunden soll.

"Seien A,B,C drei Mengen, sowie f:A->B surjektiv und g:B->C injektiv.Dann ist g * f injektiv".

Ich habe die Aussage als wahr angesehen, denn es gilt ja f(A)=B und g(B)?C. Also folgt g(f(A))= (g * f) (A) ? C und damit ist g * f injektiv.

Jetzt lese ich aber auf Wikipedia: ... ist g * f injektiv, so ist f injektiv. Das ist ja dann ein Widerspruch zur Aufgabenstellung. Ist mein Ansatz falsch gewesen und hat wikipedia recht (http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik))?

Meine Ideen:
Ist f:A->B (wie in wiki) injektiv dann folgt f(A)?B. Ist g:B->C sujektiv, dann folgt g(B)=C und es folgt fuer (g*f): A->C <=> (g*f): A->g(B) <=> g(f(A))?C und damit ist g*f injektiv, da gilt g(f(A))?g(B)=C, weil sonst ja f(A)=B und f damit surjektiv sein muesste.
Auch das was in wikipedia steht scheint zu stimmen, ist aber meine Loesung gleich deshalb falsch??

20.02.2015, 00:08

idur

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Sorry fuer den Doppelpost, aber der editor akzeptiert kein simples html, nur kompliziertes latex.... unglücklich

Ich habe eine Aufagen wo ich die Richtigkeit einer Aussage feststellen und begreunden soll.

"Seien A,B,C drei Mengen, sowie $\begin{eqnarray*} f:A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ surjektiv und $\begin{eqnarray*} g:B \rightarrow C \end{eqnarray*}$ injektiv.Dann is t $\begin{eqnarray*} g * f \end{eqnarray*}$ injektiv".

Ich habe die Aussage als wahr angesehen, denn es gilt ja $\begin{eqnarray*} f(A)=B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(B) \subseteq C \end{eqnarray*}$ . Also folgt $\begin{eqnarray*} g(f(A))= (g * f) (A) \subseteq C \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} g * f \end{eqnarray*}$ injektiv.

Jetzt lese ich aber auf Wikipedia bei Komposition_(Mathematik): ... ist $\begin{eqnarray*} g * f \end{eqnarray*}$ injektiv, so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv. Das ist ja dann ein Widerspruch zur Aufgabenstellung. Ist mein Ansatz falsch gewesen und hat wikipedia recht?

Meine Ideen:
Ist $\begin{eqnarray*} f:A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ (wie in wiki) injektiv dann folgt $\begin{eqnarray*} f(A) \subseteq B \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} g:B \rightarrow C \end{eqnarray*}$ sujektiv, dann folgt $\begin{eqnarray*} g(B)=C \end{eqnarray*}$ und es folgt fuer $\begin{eqnarray*} (g*f): A \rightarrow C \Leftrightarrow (g*f): A \rightarrow g(B) \Leftrightarrow g(f(A)) \subseteq C \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} g*f \end{eqnarray*}$ injektiv, da gilt $\begin{eqnarray*} g(f(A)) \subseteq g(B)=C \end{eqnarray*}$ , weil sonst ja $\begin{eqnarray*} f(A)=B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ damit surjektiv sein muesste.
Auch das was in wikipedia steht scheint zu stimmen, ist aber meine Loesung gleich deshalb falsch??

20.02.2015, 01:00

Nofeykx

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Kann in deinem Post leider kaum etwas richtiges erkennen, tut mir Leid.

Zitat:

denn es gilt ja $\begin{eqnarray*} f(A)=B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(B) \subseteq C \end{eqnarray*}$ . Also folgt $\begin{eqnarray*} g(f(A))= (g * f) (A) \subseteq C \end{eqnarray*}$

Das hat mit Injektivität überhaupt nichts zu tun. Das gilt alleine, weil es sich hier um Funktionen handelt. Die Aussage $\begin{eqnarray*} g\circ f(A) \subseteq C \end{eqnarray*}$ besagt doch nichts anderes als dass jedes Element von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch die Verknüpfung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ abgebildet wird, wobei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ der Wertebereich der Vernüpfung ist. Und genau das wird von jeder Funktion verlangt, nicht nur von injektiven. Kann es sein, dass dir die Definition von Injektiv nicht geläufig ist? Du solltest die auf jedenfall noch einmal nachschlagen und wiederholen.

Zitat:

Jetzt lese ich aber auf Wikipedia bei Komposition_(Mathematik): ... ist $\begin{eqnarray*} g * f \end{eqnarray*}$ injektiv, so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv. Das ist ja dann ein Widerspruch zur Aufgabenstellung.

Das widerspricht doch in keinster Weise der Aufgabenstellung. Jetzt mal unabhängig davon, ob die dortige Aussage wahr ist oder nicht stehen diese beiden Aussagen doch nicht im Konflikt zueinander verwirrt

Oder wie meinst du das?

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} f:A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ (wie in wiki) injektiv dann folgt $\begin{eqnarray*} f(A) \subseteq B \end{eqnarray*}$

Nein, wie oben bereits gesagt, hat das nichts mit Injektivität zu tun, sondern gilt für alle Funktionen.

Was du danach noch machen willst, kann ich nicht entziffern. Du verknüpfst irgendwelche Funktionen mit Äquivalenzpfeilen. Das macht wenig Sinn..

20.02.2015, 02:57

idur

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Wollte es so einfach wie moeglich und vorallem bildhaft halten, und das ist wohl anscheinend total in die Hose gegangen(!).

Ich versuch es einfach mit Worten zu erklaeren was ich meine.

(i) Jedes Element der Zielmenge B hat mindestens ein entsprechendes Argument (Element) in der Definitionsmenge A bei einer surjektiven Abbildung f.
(ii) Jedes Element der Zielmenge C hat hoechstens ein entsprechendes Argument (Element) in der Definitionsmenge B bei einer injektiven Abbildung g.
Die Verknuepfung einer surjektiven Abbildung f und einer injektiven Abbildung g (g*f) ist injektiv, da f zuerst auf Elemente aus A angewandt wird und f angwandt auf ein Element aus A niemals einen Funktionswert liefern kann der nicht in B liegt. Damit entspricht die Anzahl der Funktionswerte die sich aus f angewandt auf Elemente aus A ergeben koennen, genau der Anzahl an Elementen in B (logisch). Und da g angewandt auf eben diese Funktionswerte, die ja aus B stammen, Funktionswerte in C liefern, gilt (ii) und daraus folgt die Eindeutigkeit der Funktionswerte in C und ihrer entsprechenden Funktionsargumente in A. Es ist ja so das jedes Element aus A auf das (g*f) angewandt wurde immer auch einen Funktionswert in B zur Folge hat fuer den sich ein weiterer Funktionswert in C ergibt (Stichwort Verkettung).

Der Konflikt entstand dadurch dass auf wikipedia stand "...ist eine Verkettung g * f injektiv, so ist f injektiv." In der Aufgabestellung ist f aber surjektiv und g*f soll trotzdem injektiv sein. Daher die Verwirrung und die Motivation zu dieser Frage, ob diese Aussage den Fall wie er in der Aufgabe betrachtet, damit ausschliesst oder nicht.

20.02.2015, 11:31

Elvis

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Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} A=\{1,2\},B=C=\{1\},f:A\to B,f(1)=f(2)=1, g:B\to C,g(1)=1\Rightarrow g\circ f(1)=g\circ f(2)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist injektiv, $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist nicht injektiv.

Unabhängig davon ist die zitierte Aussage von Wikpedia richtig.

20.02.2015, 22:06

idur

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Hallo, und danke fuer die Antwort. Ich glaube ich habe es verstanden. Meine Erklaerung ist deshalb bloedsinn, weil ja als Ausgangsmenge immer A betrachtet werden muss.

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