Polynome Ableitung Produkt

21.02.2015, 12:28

StrunzMagi

Polynome Ableitung Produkt

Sei R ein Integritätsbereich und $\begin{eqnarray*} p(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k \in R[X] \end{eqnarray*}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray*} p'(X)\in R[X] \end{eqnarray*}$ wird definiert als $\begin{eqnarray*} p'(X)=\sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1} \end{eqnarray*}$
Zeige:
$\begin{eqnarray*} (pq)'=p'q+pq' \forall p,q \in R[X] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(X)=\sum_{k=0}^n b_k X^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} pq (X)= \sum_{k=0}^{n+n} (\sum_{i+j=k, i,j \ge 0} a_i b_j) X^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (p*q)'(X)= \sum_{k=1}^{2n} k (\sum_{i+j=k,i,j\ge0} a_i b_j) X^{k-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p'q+p*q'=(\sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1}) * (\sum_{k=0}^n b_k X^k) + (\sum_{k=0}^n a_k X^k)(\sum_{k=1}^n k b_k X^{k-1}) \end{eqnarray*}$

Da ich bei dieser Multiplikation Probleme habe - hab ich sie punktweise aufgeschrieben, mal für die erste Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} (a_1 + 2a_2X+..+n a_n X^{n-1})*(b_0+b_1X+b_2X^2+..+b_{n-1}X^{n-1}+b_nX^n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =b_0a_1+(b_1*a_1+2a_2*b_0)X+..+(b_0 b a_n + b_1(n-1)a_{n-1}+..+b_{n-1} a_1 ) X^{n-1} + (a_1b_n + 2 a_2 b_{n-1} +..+n a_n b_1) X^n +..+ (na_n b_n) X^{2n-1} \end{eqnarray*}$
Ich hab Probleme, dass in Summenzeichen aufzuschreiben..Wenn ich schreibe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{2n-1} (\sum_{i+j=k,i,j \ge 0} i a_i b_j) X^k \end{eqnarray*}$ ist das ja falsch, da auch $\begin{eqnarray*} a_0, a_n \end{eqnarray*}$ mitgerechnet werden, die ja nicht 0 sein müssen...

21.02.2015, 12:39

Elvis

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Bei der Ableitung kannst du k von 0 bis n summieren, denn k=0 gibt keinen von 0 verschiedenen Summanden.

21.02.2015, 12:43

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} p'(X)\in R[X] \end{eqnarray*}$ wird definiert als

soll das nicht eher ein Polynom als eine Abbildung sein?
$\begin{eqnarray*} p \mapsto p' \end{eqnarray*}$ wär eine Abbildung auf R[X], sogar eine lineare.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p(X)=\sum_{k=0}^n a_k X^k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(X)=\sum_{k=0}^n b_k X^k \end{eqnarray*}$

p und q haben i.A. verschiedene Grade.

Ich würde sowas nie mit Indexgeschubse beweisen, da es nervig wie sonst noch was ist.

Es ist ((p+r)q)'=(pq+rq)'=(pq)'+(rq)' da die Ableitung linear ist;
es ist ((kp)q)'=k(pq)' da die Ableitung linear ist.

Das heißt es genügt hier die Aussage für $\begin{eqnarray*} p=X^n , q=X^m \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

21.02.2015, 19:44

StrunzMagi

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Zitat:

Original von Elvis
Bei der Ableitung kannst du k von 0 bis n summieren, denn k=0 gibt keinen von 0 verschiedenen Summanden.

Aber dabei ist $\begin{eqnarray*} X^{k-1}=X^{0-1} \end{eqnarray*}$ nicht definiert, Wir haben $\begin{eqnarray*} X=(0,1,0,0..) \end{eqnarray*}$ definiert und per Induktion gezeigt $\begin{eqnarray*} X^n=(0,0,...,0,1,0,...) \end{eqnarray*}$ wobei die 1 an (n+1)-ter Stelle steht und sonst nur Nullen vorkommen. Und $\begin{eqnarray*} X^0=1 \end{eqnarray*}$

Also kann ich nicht bei den letzten Summen alle unteren Grenzen 0 setzen.
$\begin{eqnarray*} p'q+p*q'=(\sum_{k=1}^n k a_k X^{k-1}) * (\sum_{k=0}^n b_k X^k) + (\sum_{k=0}^n a_k X^k)(\sum_{k=1}^n k b_k X^{k-1}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Captain Kirk
Es ist ((p+r)q)'=(pq+rq)'=(pq)'+(rq)' da die Ableitung linear ist;
es ist ((kp)q)'=k(pq)' da die Ableitung linear ist.

Das heißt es genügt hier die Aussage für $\begin{eqnarray*} p=X^n , q=X^m \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Hast du nicht auch noch eine Verschiebung um +Konstanten wegen den absoluten Glied?
Kannst du mir da vlt. näher erklären wieso du das ganze auf die Fälle reduzieren kannst?

22.02.2015, 13:46

Captain Kirk

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Zitat:

Hast du nicht auch noch eine Verschiebung um +Konstanten wegen den absoluten Glied?

Konstanten sind auch Polynome, dafür gelten die obigen Aussagen.

Zitat:

Kannst du mir da vlt. näher erklären wieso du das ganze auf die Fälle reduzieren kannst?

Was ich hier im Endeffekt ausnutze ist, dass R[X] ein R-Modul ist mit Basis $\begin{eqnarray*} 1,X,X^2,\ldots \end{eqnarray*}$ und, dass $\begin{eqnarray*} R[X] \times R[X] \to R[X] \quad (p,q) \mapsto (pq)' \end{eqnarray*}$ eine R-Modulhomomorphismus und daher auf einer Basis bereits eindeutig definiert ist.

23.02.2015, 05:44

StrunzMagi

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Wir hatten leider noch keine Module, ich weiß nur das R[X] ein kommutativer Ring mit 1 ist. Also denke ich nicht, dass ich deinen Lösungsweg benützen darf.

Deshalb wäre ich noch am Ausmultiplizieren der Summe interessiert.. Augenzwinkern

Also meiner Einstiegsfrage.
LG

23.02.2015, 10:40

Elvis

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Man muss es nur tun, dann scheint es zu stimmen, egal was $\begin{eqnarray*} X^{-1} \end{eqnarray*}$ sein mag, denn für diesen Summanden ist $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ . Könnte vielleicht so aussehen:

$\begin{eqnarray*} p'q+pq'=(\sum_{k=0}^n ka_k X^{k-1}) (\sum_{k=0}^n b_k X^k)+(\sum_{k=0}^n a_k X^k)(\sum_{k=0}^nkb_kX^{k-1})=\sum_{k=0}^{2n}(\sum_{i+j=k}ia_iX^{i-1}b_jX^j)+\sum_{k=0}^{2n}(\sum_{i+j=k}a_iX^ijb_jX^{j-1})= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^{2n}(\sum_{i+j=k}ia_ib_j)X^{k-1}+\sum_{k=0}^{2n}(\sum_{i+j=k}ja_ib_j)X^{k-1}=\sum_{k=0}^{2n}k(\sum_{i+j=k}a_ib_j)X^{k-1}=(pq)' \end{eqnarray*}$

Der Trick ist einfach der, $\begin{eqnarray*} i+j=k \end{eqnarray*}$ zu nutzen.

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