nichttriviale Lösungen für das Gleichungssystem

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mim92 Auf diesen Beitrag antworten »
nichttriviale Lösungen für das Gleichungssystem
Meine Frage:
Für welche reelle Zahl a besitzt folgendes Gleichungssystem nichttriviale Lösungen?
7x1-8x2-2x3 = 0
-x1+64x2+ax3 = 0
-3x1+16x2+2x3 =0



Meine Ideen:
Wenn ich versuche, nach cramer zu lösen, werden alle xi zu null, da die determinante einer matrix den wert null hat, wenn eine Spalte nur aus nullen besteht. Somit müsste es doch nur die Triviale Lösung xi = 0, a =0 geben.?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Cramer ist hier zu viel des Guten.

Berechne ohne vorige Umformungen die Determinante der Matrix.

Bestimme nun a so, dass dieser Wert Null ist, dann gibt es nichttriviale Lösungen.
mim92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habe ich gemacht. Ich verstehe trotzdem nicht genau, warum man da so macht.
mim92 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn wir schon mal dabei sind, wie löst man dann das Gleichungssystem?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



für a=6 gilt dann:




nach Anwendung des Gauss-Algorithmus :



und jetzt könnte man den Parameter x3=r wählen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Die Determinante ist das Volumen des durch die Vektoren aufgespannten Parallelipeds.

bei Volumen =0 sind die Vektoren linear abhängig !
 
 
mim92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt verstehe ich den Zusammenhang. Das macht natürlich Sinn. Denn 3 Vektoren sind ja nur linear abhängig, wenn das Spatprodukt 0 wird, weil das bedeutet, dass sie in einer Ebene liegen und jeder der Vektoren durch ein Vielfaches der jeweils anderen ausgedrückt werden kann. Vielen Dank. Im Falle dieser Matrix sind die Zeilen als Vektoren linear abhängig, da die Determinante für a = 6 zu null wird.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
nach Anwendung des Gauss-Algorithmus :




und wenn man hier x3=11r wählt, dann steht da:

x1=2r
x2= -r
x3= 11r , also eine Ursprungsgerade im Raum.
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