Richtungsvektor

22.02.2015, 14:13

scoubina

Richtungsvektor

Hallo Zusammen!
Ich habe eine Frage bez. dem Findes des Richtungsvektors.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

"Wir betrachten die Funktion $\begin{eqnarray*} (x,y) \Rightarrow x^3 + y^3 + 3xy \end{eqnarray*}$
In welche Richtung rollt ein Ball auf dem Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , falls man ihn im Punkt $\begin{eqnarray*} (1,1,5) \end{eqnarray*}$ loslässt?"

Nun ich weiss, dass der Ball in Richung des geringsten Widerstandes rollt. Das heisst, dort wo die Richtungsableitung minimal ist.

Und die Richungsableitung ist ja definiert als den Gradienten am Punkt mal den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$

Nun den Gradienten zu bestimmen ist einfach. Schwierigkeiten bereitet mir das finden des Richtungsvektors $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ .

In der Lösung hat er einfach geschrieben: Sei $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = (cos(\varphi), sin(\varphi)) \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage: Wie komme ich auf diesen Vektor?!

Viele Grüsse und Danke für die Hilfe!

22.02.2015, 14:40

Dopap

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meiner Meinung nach rollt der Ball in Richtung des stärksten Abstieges, und das ist die Richtung des negativen Gradienten.

23.02.2015, 22:01

scoubina

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Das beantwortet meine Frage leider nicht.. ?

23.02.2015, 22:03

IfindU

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Jede (normierte) Richtung im R^2 ist von der Form $\begin{eqnarray*} ( \cos \varphi, \sin \varphi) \end{eqnarray*}$ für geeignetes $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Das folgt sofort aus der Polardarstellung.

24.02.2015, 11:28

Ehos

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Der normierte negative Gradient im Punkt (x;y)=(1;1) ist der Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \tfrac{\nabla f}{|\nabla f|}=-\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ \tfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . In diese Richtung rollt der Ball nach dem Loslassen am Punkt (x;y)=(1;1). Um diese Richtung in Form eines Winkels anzugeben, vergleicht man diesen Einheitsvektor mit dem allgemeinen Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Wie lautet also der Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ?

25.02.2015, 10:41

scoubina

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Entschuldige bitte, aber wie kommst du auf diesen Gradienten? Der Gradient meiner Funktion ist doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (im Punkt (1,1). Und dieser muss ich normieren, weil..?
Der Gradient gibt mir doch die Richtung des stärksten Anstieges an. Das heisst, der Ball rollt in Richtung negativen Gradienten.
Wies reicht es nicht, einfach den negativen Gradienten zu nehmen. Wozu normieren und vorallem wieso noch mit dem allgemeinen Einheitsvektor vergleichen?
Ist denn dieser "allgemeine" Einheitsvektor immer gültig? Weil ich den noch nie so verwendet habe, bzw. ihn so als "allg." Einheitsvektor bezeichnet.

Sorry, ich steh glaubs ein bisschen auf dem Schlauch.. :-(

25.02.2015, 11:56

Dopap

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Zitat:

Original von scoubina
Wies reicht es nicht, einfach den negativen Gradienten zu nehmen. Wozu normieren und

im Sinne der Richtung hast du recht. Für die Angabe einer Richtung genügt das Ausstrecken des Armes, unabhängig von der Armlänge smile

Im Richtungsvektor = $\begin{eqnarray*} - \mathfrak {grad}f(1,1) \end{eqnarray*}$ steckt aber noch mehr: sein Betrag gibt auch die Stärke der Steigung an.

Richtungen = Vektoren kann man aber auch in Polarkoordinaten angeben, nämlich durch Radius und Winkel.

$\begin{eqnarray*} \binom {-6}{-6} = \binom {R}{\varphi}_p =\binom {6\sqrt 2} {225°}_p \end{eqnarray*}$

Die Richtung kann man jetzt mit 225° ablesen - so wie ein Kapitän den Kurs vorgibt.

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