Grenzwert einer Folge bestimmen

22.02.2015, 14:42

Balboso

Grenzwert einer Folge bestimmen

Hallo!

Ich komme bei einer Grenzwertbestimmung nicht weiter, bzw. ich finde keinen Ansatz und zwar für die folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie durch numerische Berechnungen den Grenzwert der Folge a

a0=0; an=0,07^an-1 für n>0

Der genaue Grenzwert soll 0,3719283225 lt. Lösung sein.

Die ersten Folgenglieder sehen ja wie folgt aus:

a1= 0,07^0,07 = 0,83...
a2= 0,07^0,07^0,07 = 0,10...
a3= 0,07^0,07^0,07^0,07 = 0,74...
a4= 0,07^0,07^0,07^0,07^0,07 = 0,13
a5= 0,69...
a6= 0,15...

es lässt sich erahnen, wie sich lim entwickelt, nur wie bestimme ich hier lim genau?

22.02.2015, 16:58

Helferlein

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Welcher Startwert und welche Folge ist denn nun richtig? In deiner rekursiven Definition verwendest Du $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ in deiner Auflistung dann plötzlich $\begin{eqnarray*} a_0=0,07 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n=(a_{n-1})^{0,07} \end{eqnarray*}$ . Die Ergebnisse hingegen lassen vermuten, dass Du doch die erste Definition verwendet hast (Was ohne Klammerung aber nicht dasselbe ist).

Wie auch immer: Den Grenzwert erhältst Du als Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x=0,07^x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x=x^{0,07} \end{eqnarray*}$ (je nachdem, wie die Folge nun wirklich aussieht).
Da nur eine numerische Lösung gesucht ist, wirst Du ein geeignetes Verfahren (Newton, Bisektion o.ä.) verwenden müssen.

22.02.2015, 17:28

Bürgi

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@Helferlein

Guten Tag
nur ein Hinweis:

Zitat:

Den Grenzwert erhältst Du als Lösung der Gleichung ... $\begin{eqnarray*} x=x^{0,07} \end{eqnarray*}$ (je nachdem, wie die Folge nun wirklich aussieht).

Die 2. Variante wird es sicherlich nicht sein, denn die ist eindeutig lösbar: x = 0 oder x = 1

22.02.2015, 17:38

Balboso

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Die Folge lautet für alle n > 0
$\begin{eqnarray*} a_{n} = 0,7^{a_{n-1}} \end{eqnarray*}$

22.02.2015, 18:54

Helferlein

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Dann sind die von Dir angegebenen $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ leider falsch, denn es ist $\begin{eqnarray*} a_1=0.7^{a_0}=0.7^0=1 \neq 0.83... \end{eqnarray*}$ .
Vielmehr ist erst für n=3 $\begin{eqnarray*} a_3=0.7^{a_2}=0.7^{0.7} \end{eqnarray*}$
Die restlichen Überlegungen stehen oben: Bestimme die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x=0.7^x \end{eqnarray*}$

22.02.2015, 19:34

Balboso

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Aber der Prof hat doch a0 definiert als $\begin{eqnarray*} a_{0} = 0,7 \end{eqnarray*}$ (siehe erster Beitrag)

Wäre dann nicht $\begin{eqnarray*} a_{1} = 0,7^{a_{n-1}} = 0,7^{a_{0}} = 0,7^{0,7} \end{eqnarray*}$ und somit 0,83...?

----
Ahh, sorry, sehe gerade, dass ich das da falsch geschrieben hab...

22.02.2015, 22:25

Balboso

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Soll natürlich in meinem letzten Post 0,07 (wie im ersten Post) heißen und nicht 0,7

Zitat:

Original von Helferlein
[...] Bestimme die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x=0.07^x \end{eqnarray*}$

Verstehe nicht, wieso ich diese Gleichung für die Grenzwertberechnung nutzen soll. Lieg ich jetzt völlig falsch, aber da kommt doch nicht das selbe bei raus?! verwirrt

$\begin{eqnarray*} a_{1} = 0,07^{0,07} = 0,830151... <br /> a_{2} = 0,07^{a_{n-1}} = 0,07^{0,830150...} = 0,1099... \neq a_{2} = 0,07^{2} = 0,0049 \end{eqnarray*}$

22.02.2015, 23:36

Helferlein

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Was meinst Du mit dasselbe? Das x, was diese Gleichung löst, ist ein potentieller Grenzwert der Folge. Da es hier nur eine Lösung gibt, ist dies also der gesuchte Grenzwert.

Ich habe nirgends behauptet, dass für irgendein n die Gleichung $\begin{eqnarray*} a_n=0.7^{n} \end{eqnarray*}$ gilt.

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