Existenz eines Grenzwertes in Abhängigkeit eines Parameters (uneigentliche Integrale)

Neue Frage »

23.02.2015, 11:32	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz eines Grenzwertes in Abhängigkeit eines Parameters (uneigentliche Integrale) Meine Frage: Folgende Aufgabe gilt es zu lösen: Diskutieren Sie die Existenz des Grenzwertes in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ : a) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \frac{dx}{x^{\alpha}} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty} \! \frac{dx}{x^{\alpha}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Könnte mir hier vielleicht jemand dabei helfen? Ich bin nicht sicher, wie ich die Aufgabe angehen soll...
23.02.2015, 11:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz eines Grenzwertes in Abhängigkeit eines Parameters (uneigentliche Integrale) Mit $\begin{eqnarray} \frac 1 { x^\alpha } = x^{-\alpha} \end{eqnarray}$ kann man sehr leicht eine Stammfunktion bestimmen. Mit dem Hauptsatz kann man das ganze dann auf Folgenkonvergenz runterbrechen.
23.02.2015, 11:42	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Also die Stammfunktion würde $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^{-2\alpha} \end{eqnarray}$ lauten? Und ich bin mir nicht ganz sicher, was du mit Hauptsatz meinst?
23.02.2015, 11:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke es ist besser, wenn wir erst einmal bei der Stammfunktion bleiben. Weil es sowieso ein besonderer Fall sein wird: Wie lautet die denn für $\begin{eqnarray} \alpha = 1 \end{eqnarray}$ ?
23.02.2015, 11:46	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann $\begin{eqnarray} ln\|x\| \end{eqnarray}$ ? Edit: Tut mir leid, ich bemerke gerade, dass ich mir ein absolut doofen Fehler bei der Stammfunktion unterlaufen ist, da ich den Denkfehler hatte, dass die -2 die nächstgrößere Zahl gegenüber -1 ein wäre. Ist sie aber natürlich nicht. Ich bin mir nun allerdings nicht ganz sicher, wie die korrekte Stammfunktion zu bilden ist... $\begin{eqnarray} x^{-\alpha+1} \end{eqnarray}$ ? Das kommt mir allerdings selbst nicht richtig vor...
23.02.2015, 11:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wie du siehst ist das auch nicht das was rauskommt, wenn du bei deiner allg. Stammfunktion $\begin{eqnarray} \alpha = 1 \end{eqnarray}$ setzt. Wenn du erst den Fall abhandeln willst: Wie ist denn das uneigentliche Integral definiert? Wenn du das hast, kannst du den Hauptsatz, damit meine ich $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x) d x = F(b) - F(a) \end{eqnarray}$ benutzen, wobei F eine Stammfunktion von f ist. Ansonsten kannst du für die restlichen alpha die korrekte Stammfunktion bestimmen.
Anzeige

23.02.2015, 12:42	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also ich habe mich nochmals über die Stammfunktion gesetzt und mein Hirn jetzt ein bisschen mehr angestrengt. $\begin{eqnarray} \frac{1}{-\alpha+1} x^{-\alpha+1} \end{eqnarray}$ müsste die richtige Stammfunktion sein, oder? Bzw umgeschrieben wäre es $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-\alpha) x^{\alpha-1}} \end{eqnarray}$ ? Ähm...Definition... das uneigentliche Integral ist eine im Intervall [a, $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ] definierte Funktion?
23.02.2015, 12:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut, die Stammfunktionen stimmen Spätestens hier sieht man, dass $\begin{eqnarray} \alpha = 1 \end{eqnarray}$ einfach nicht abgedeckt wäre. Daher haben wir das separat behandelt. Uneigentliche Integrale nähern sich der kritischen Stelle an. D.h. da hier (häufig) die 0 das Problem ist, da die Funktionen dort nicht definiert sind, untersucht man $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 f(x). \end{eqnarray}$ . Nun kann man das rechte Integral in Abhängigkeit von Epsilon auswerten und dann schauen wie es sich für Epsilon gegen 0 verhält. Für das andere analog $\begin{eqnarray} \int_1^\infty f(x) = \lim_{M \to \infty} \int_1^M f(x) \end{eqnarray}$ .
23.02.2015, 13:03	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich vom Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^1 f(x) \end{eqnarray}$ ausgehe, dann liegt mein Grenzwert für x=1 und $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ bei 0. Für x = $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ hingegen strebt er gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ . Das heißt dann: $\begin{eqnarray} 0-(-\infty)=\infty \end{eqnarray}$ ?
23.02.2015, 13:20	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Während ich für $\begin{eqnarray} \int_1^\infty f(x) = \lim_{M \to \infty} \int_1^M f(x) \end{eqnarray}$ für beide Grenzen 0 bekomme. Also der Grenzwert 0 wäre?
23.02.2015, 13:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du integrierst über positive Funktionen. Es sollte niemals 0 rauskommen. Was ist denn F(1)?
23.02.2015, 13:33	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-\alpha)1^{\alpha-1}} \end{eqnarray}$ : Der Exponent für mein x, sprich 1, kann doch wegfallen, da 1 hoch jedweder Zahl trotz allem immer 1 bleibt. Also haben wir nur $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-\alpha)1} \end{eqnarray}$ Wenn ich nun sage, dass $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ ist, dann wird doch mein Nenner immer größer und damit die reelle Zahl immer kleiner? Hätte ich also $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-10 000)1} \end{eqnarray*}$ dann wäre meine Zahl 0,0001? Und je höher ich sie wähle, desto kleiner wird die Zahl und strebt gegen Null? Zumindest war so mein Gedankengang...
23.02.2015, 13:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du lässt Alpha doch nicht gegen unendlich streben. Alpha ist ein fester Parameter, und der Flächeninhalt hängt von alpha ab.
23.02.2015, 13:38	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich hier etwas ganz und gar falsch verstanden... ich dachte, die Bedingung für Alpha wäre, dass es größer als 1 sein muss?
23.02.2015, 13:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht, alpha ist größer als 1. Aber es ist fest, z.B. könnte alpha = 2 sein. Interessant ist wie sich die Fläche relativ dazu verhält. Der einzige Grenzwert hier ist epsilon gegen 0 und M gegen unendlich.
23.02.2015, 13:50	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also dass Alpha ein fester Wert ist, der nicht gegen unendlich oder irgendeinen Zahlwert strebt, war mir bewusst. Und wie sich die Fläche relativ zum Parameter verhält... sie liegt immer im negativen Bereich?!
23.02.2015, 13:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Für festes epsilon, festes alpha, was ist denn $\begin{eqnarray} \int_\epsilon^1 \frac 1 {x^\alpha} \end{eqnarray}$ .
23.02.2015, 13:58	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde behaupte, da würde eine negative Zahl herauskommen. Denn für für x=1 ergibt sich eine kleinere Zahl als für x = $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ .
23.02.2015, 14:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch die Stammfunktion bestimmt. Du kannst es mit dem Hauptsatz also genau angeben! (Und nein, positive Funktionen haben positive Fläche)
23.02.2015, 14:38	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-\alpha)1^{\alpha-1}}-\frac{1}{(1-\alpha)\epsilon^{\alpha-1}} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, welchen Weg ich einschlagen soll...
23.02.2015, 14:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Alles was jetzt noch bleibt ist Epsilon gegen 0 zu schicken, und eben die Frage wo der Limes existiert und wo nicht.
23.02.2015, 14:51	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Also liegt mein Grenzwert bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-\alpha)1^{\alpha-1}} \end{eqnarray}$ ?
23.02.2015, 14:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Fall, dass $\begin{eqnarray} \alpha < 1 \end{eqnarray}$ ist, ja Dann geht nämlich der rechte Term gegen 0, falls epsilon gegen 0 geht. Für alpha = 1 brauchen wir die andere Stammfunktion (Logarithmus), und was passiert für $\begin{eqnarray} \alpha > 1 \end{eqnarray}$ ?
23.02.2015, 15:02	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich trau mich das nun kaum auszusprechen, weil du ja bereits sagtest, ich darf nicht $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ herausbekommen... aber das wäre $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-\alpha)1^{\alpha-1}}+\infty \end{eqnarray}$ ? Bzw. einfach nur $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ?
23.02.2015, 15:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es divergiert gegen $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ . Vlt übersiehst du, dass für $\begin{eqnarray} a > 1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \frac 1 { 1 - \alpha } < 0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} - \frac 1 {1 - \alpha } \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ für alle positiven Zahlen Epsilon. Das erste ist ja nur eine feste Zahl, und "unendlich + endlich" wird unendlich sein. Übrigens kannst du $\begin{eqnarray} (1-\alpha) 1^{\alpha - 1} = 1 - \alpha \end{eqnarray}$ vereinfachen. Ist dann ein wenig kürzer.

Neue Frage »

Antworten »

Existenz eines Grenzwertes in Abhängigkeit eines Parameters (uneigentliche Integrale)

Verwandte Themen