Anzahl der Nullstellen eines Polynoms in einem Körper

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23.02.2015, 13:50	brushmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Nullstellen eines Polynoms in einem Körper Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabenstellung: Es sei $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{625} \end{eqnarray}$ der Körper mit 625 Elementen. (i) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} T^8 - 1 \in \mathbb{F}_{625}[T] \end{eqnarray}$ . (ii) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} T^7 - 1 \in \mathbb{F}_{625}[T] \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe diesen alten Thread gefunden: http://www.matheboard.de/archive/5007/thread.html Dort geht es um die gleiche Aufgabenstellung, aber leider verstehe ich die Lösung nicht. Dort geht es um die Nullstellen von $\begin{eqnarray} T^6 - 1 \in \mathbb{F}_{343} \end{eqnarray}$ . Dort steht folgende Lösung: $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray}$ ist ein Unterkörper des $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{7^3} \end{eqnarray}$ . Die multiplikative Gruppe des $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray}$ hat 7-1 Elemente. Daher gilt $\begin{eqnarray} x^6 = e \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{7}^{\ast} \end{eqnarray}$ . (Anzahl der Elemente $\begin{eqnarray} \equiv ord(\mathbb{F}_7) \end{eqnarray}$ ) Also hat das Polynom mindestens 6 Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{7^3} \end{eqnarray}$ . (Anzahl der Elemente). Da $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{7^3} \end{eqnarray}$ ein Körper ist, hat es auch höchstens 6 Nullstellen. Warum gilt denn $\begin{eqnarray} x^6 = e \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{7}^{\ast} \end{eqnarray}$ ?
23.02.2015, 14:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In einer Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ teilt die Ordnung eines Elements $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die Gruppenordnung $\begin{eqnarray} \|G\| \end{eqnarray}$ , also ist immer $\begin{eqnarray} g^{\|G\|}=e \end{eqnarray}$ .
24.02.2015, 17:10	brushmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Ich habe nicht daran gedacht, dass $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ das neutrale Element der Gruppe ist. Trotzdem bin ich jetzt auch nicht viel weiter. Wenn ich das auf meine Aufgaben übertragen würde, stünde da folgendes: (i) $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_5 \end{eqnarray}$ ist ein Unterkörper des $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5^4} \end{eqnarray}$ . Die multiplikative Gruppe des $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5}^{\ast} \end{eqnarray}$ hat 5-1=4 Elemente. Daher gilt $\begin{eqnarray} x^4 = e \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5}^{\ast} \end{eqnarray}$ . (Anzahl der Elemente $\begin{eqnarray} \equiv ord(\mathbb{F}_5) \end{eqnarray}$ ) Also hat das Polynom mindestens 4 Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5^4} \end{eqnarray}$ . (Anzahl der Elemente). Da $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5^4} \end{eqnarray}$ ein Körper ist, hat es höchstens 8 Nullstellen. (ii) $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_5 \end{eqnarray}$ ist ein Unterkörper des $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5^4} \end{eqnarray}$ . Die multiplikative Gruppe des $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5}^{\ast} \end{eqnarray}$ hat 5-1=4 Elemente. Daher gilt $\begin{eqnarray} x^4 = e \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5}^{\ast} \end{eqnarray}$ . (Anzahl der Elemente $\begin{eqnarray} \equiv ord(\mathbb{F}_5) \end{eqnarray}$ ) Also hat das Polynom mindestens 4 Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5^4} \end{eqnarray}$ . (Anzahl der Elemente). Da $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5^4} \end{eqnarray}$ ein Körper ist, hat es höchstens 7 Nullstellen. Ich habe mir mal ein kleines Programm geschrieben und das sagt mir, dass $\begin{eqnarray} T^8 - 1 \end{eqnarray}$ 4 Nullstellen hat (nämlich 1, 182, 443, 624) und $\begin{eqnarray} T^7 - 1 \end{eqnarray}$ nur eine (nämlich 1). Also scheint diese Begründung ja nicht immer zu gelten oder?
24.02.2015, 18:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(i) $\begin{eqnarray} x^4=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb F_5^ \end{eqnarray}$ stimmt, also hat das Polynom $\begin{eqnarray} T^8-1 \end{eqnarray}$ mindestens 4, höchstens 8 Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb F_{625} \end{eqnarray}$ . Soweit stimmt das. Dein Programm scheint in Ordung zu sein. (ii) Über die Nullstellen von $\begin{eqnarray} T^7-1 \end{eqnarray}$ sagt $\begin{eqnarray} x^4=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb F_5^* \end{eqnarray*}$ nichts aus. Auch da liefert dein Programm die einzige Nullstelle. Merke: Eine einzige gute Idee liefert nicht immer die ganze Wahrheit.
24.02.2015, 18:04	brushmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie soll mir das weiterhelfen?
24.02.2015, 18:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das weiß ich auch nicht; du hast gefragt, ich habe geantwortet. Deine Frage bezog sich nur auf $\begin{eqnarray} x^6=e \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb F_7^ \end{eqnarray}$ . Zu (ii) habe ich Dir schon die Antwort nahegelegt, weil 7 kein Teiler von 624 ist. Bei (i) hilft $\begin{eqnarray} T^8-1=(T^4-1)(T^4+1) \end{eqnarray*}$ vielleicht weiter, darüber können Du und ich weiter nachdenken.
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24.02.2015, 18:36	brushmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es ist doch schon ersichtlich, dass es mir darum geht, wie man die Anzahl der Nullstellen bestimmt. Also noch einmal: Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen der beiden Polynome heraus? Der Satz hat mich jetzt aber doch ein bisschen weitergebracht denke ich. Wenn man die Gleichungen umformt, kommt man auf $\begin{eqnarray} T^n = 1 \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} ord(\mathbb{F}_{5^4}^{\ast}) = 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \in \mathbb{F}_{5^4}^{\ast} \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} T^{4^n} = 1 \end{eqnarray}$ . Ist das die richtige Richtung oder verrenne ich mich?
24.02.2015, 19:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn jemand (bis zum Alter von 40 Jahren) wüsste, wie man im allgemeinen Anzahl der Nullstellen oder sogar Nullstellen bestimmen könnte, bekäme er oder sie umgehend die Fieldsmedaille, die höchste Auszeichnung für Mathematiker. Leider haben wir alle keine Ahnung, wie das gehen soll. Ich korrigiere dich ein wenig: $\begin{eqnarray} ord(\mathbb F_5^)=4\Rightarrow x^4=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb F_5^* \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} ord(\mathbb F_{5^4}^)=5^4-1\Rightarrow x^{624}=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb F_{5^4}^ \end{eqnarray}$ . Nun sind aber nicht die Nullstellen von $\begin{eqnarray} T^4-1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} T^{624}-1 \end{eqnarray}$ gesucht, sondern von $\begin{eqnarray} T^8-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T^7-1 \end{eqnarray}$ . Weil die Ordnung eines Gruppenelements Teiler der Gruppenordnung ist, schließen wir, dass $\begin{eqnarray} T^7-1 \end{eqnarray}$ nur die Nullstelle 1 hat. Es gibt kein Element der Ordnung 7. Mit dem anderen Problem sind wir noch nicht ganz fertig. $\begin{eqnarray} T^4-1 \end{eqnarray}$ hat die 4 Nullstellen aus dem Teilkörper $\begin{eqnarray} \mathbb F_5 < \mathbb F_{5^4} \end{eqnarray}$ . Wenn du zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray} T^4+1 \end{eqnarray}$ keine Nullstelle in einem endlichen Körper hat, sind wir fertig. Wenn etwa keine Wurzel aus -1 existieren würde, wäre die Aufgabe gelöst, das kann aber wegen $\begin{eqnarray} 2^2\equiv 3^2\equiv -1 (mod\; 5) \end{eqnarray*}$ nicht sein.
25.02.2015, 09:40	brushmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} T^7 - 1 \end{eqnarray}$ kann ich das nachvollziehen. Aber warum muss man nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} T^4 + 1 \end{eqnarray}$ keine Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5^4} \end{eqnarray}$ hat?
25.02.2015, 09:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, ich habe gestern an einer Stelle nicht aufgepasst. Dein Programm ist ganz und gar nicht in Ordnung, sondern völlig falsch. Für $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ ist der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray}$ ist etwas völlig anderes als der Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{p^n}=\mathbb Z/p^n\mathbb Z \end{eqnarray}$ , denn der letztere enthält Nullteiler, was in einem Körper nicht möglich ist. Mit anderen Worten: man darf in der multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^n}^ \end{eqnarray}$ des endlichen Körpers $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray}$ nicht modulo $\begin{eqnarray} p^n \end{eqnarray}$ rechnen. Es gilt vielmehr der SATZ: Ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^n} \end{eqnarray}$ ein endlicher Körper, $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl, $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl, so ist seine multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb F_{p^n}^* =<\theta> \end{eqnarray}$ zyklisch von der Ordnung $\begin{eqnarray} p^n-1 \end{eqnarray}$ . Aus der Gruppentheorie wissen wir, dass zu jedem natürlichen Teiler $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ einer zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray} <\theta> \end{eqnarray}$ genau eine zyklische Untergruppe $\begin{eqnarray} <\theta^{\frac g d}> \le <\theta> \end{eqnarray}$ existiert. Weitere Untergruppen hat eine zyklische Gruppe nicht. Im Beispiel ist $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} 624=5^4-1 \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} 878=624 \end{eqnarray}$ , also existiert die zyklische Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <\theta^{78}> \le <\theta>=\mathbb F_{5^4}^ \end{eqnarray}$ . Die Elemente dieser Untergruppe sind genau die $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ Nullstellen von $\begin{eqnarray} T^8-1 \in \mathbb F_{5^4} \end{eqnarray}$ , die wir gesucht haben. Wegen $\begin{eqnarray} 83=24=25-1=5^2-1 \end{eqnarray}$ liegen diese $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ Nullstellen bereits im Teilkörper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{5^2} \end{eqnarray}$ . Die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ kein Teiler von $\begin{eqnarray} 5^3-1=124 \end{eqnarray}$ ist, zeigt, dass sie nicht im Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_{5^3} \end{eqnarray}$ liegen. Dieser kann - auch aus Dimensionsgründen - keine algebraische Erweiterung von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{5^2} \end{eqnarray}$ sein und ebenso kann $\begin{eqnarray} \mathbb F_{5^4} \end{eqnarray}$ keine algebraische Erweiterung von $\begin{eqnarray} \mathbb F_{5^3} \end{eqnarray}$ sein.
25.02.2015, 10:29	brushmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das klingt einleuchtend. Ich habe nun folgende ähnliche Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} \mathbb{F} \end{eqnarray}$ der Körper mit $\begin{eqnarray} 343 \end{eqnarray}$ Elementen und $\begin{eqnarray} P(\mathbb{F}) \end{eqnarray}$ der Primkörper von $\begin{eqnarray} \mathbb{F} \end{eqnarray}$ . (1) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} T^{12} - 1 \in \mathbb{F}[T] \end{eqnarray}$ . (2) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} T^{15} - 1 \in P(\mathbb{F})[T] \end{eqnarray}$ . Es ist also $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{343} = \mathbb{F}_{7^3} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} P(\mathbb{F}_{343}) = \mathbb{F}_{7} \end{eqnarray}$ , richtig? Dann ist $\begin{eqnarray} ord(\mathbb{F}_{343}^{\ast}) = 343 - 1 = 342 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ord(P(\mathbb{F}_{343}^{\ast})) = ord(\mathbb{F}_{7}^{\ast}) = 7 - 1 = 6 \end{eqnarray}$ , oder? Und da $\begin{eqnarray} 12 \nmid 342 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 15 \nmid 6 \end{eqnarray}$ schließen wir, dass beide Polynome nur die Nullstelle 1 haben?
25.02.2015, 10:48	brushmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ich habe noch eine: Seien $\begin{eqnarray} \mathbb{F} \end{eqnarray}$ der Körper mit $\begin{eqnarray} 14641 \end{eqnarray}$ Elementen und $\begin{eqnarray} P(\mathbb{F}) \end{eqnarray}$ der Primkörper von $\begin{eqnarray} \mathbb{F} \end{eqnarray}$ . (1) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} T^{366} - 1 \in \mathbb{F}[T] \end{eqnarray}$ . (2) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray} T^{366} - 1 \in P(\mathbb{F})[T] \end{eqnarray}$ . Es ist also $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{14641} = \mathbb{F}_{11^4} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} P(\mathbb{F}_{14641}) = \mathbb{F}_{11} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} ord(\mathbb{F}_{14641}^{\ast}) = 14641 - 1 = 14640 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ord(P(\mathbb{F}_{14641}^{\ast})) = ord(\mathbb{F}_{11}^{\ast}) = 11 - 1 = 10 \end{eqnarray}$ . (1) Es gilt $\begin{eqnarray} 366 \mid 14640 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} 14640 = 366 \cdot 40 \end{eqnarray}$ . Also existiert die zyklische Untergruppe der zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{11^4}^{\ast} \end{eqnarray}$ mit der Ordnung 366: $\begin{eqnarray} <\theta^{40}> \end{eqnarray}$ . Diese Untergruppe enthält alle Nullstellen von $\begin{eqnarray} T^{366} - 1 \end{eqnarray}$ . Das Polynom hat also 366 Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{11^4} \end{eqnarray}$ . (2) Es gilt $\begin{eqnarray} 366 \nmid 10 \end{eqnarray}$ . Daher hat $\begin{eqnarray} T^{366} - 1 \end{eqnarray}$ als einzige Nullstelle die 1 in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{11} \end{eqnarray}$ . Stimmt das so?
25.02.2015, 10:55	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt so nicht. $\begin{eqnarray} T^{12}-1 \end{eqnarray}$ hat z.B. -1 als Nullstelle. a\| b ist hier nicht die Bedingung, benutze den ggT.
25.02.2015, 13:20	brushmate	Auf diesen Beitrag antworten »
Den ggT von 12 und 342? Der ist 6. Also gibt es die Untergruppe der Ordnung 6. Und daher hat das Polynom dann 6 Nullstellen?
25.02.2015, 14:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst ausführlicher denken und formulieren. Die Kurzfassung ist oft nur ein Kurzschluss und dann bestenfalls zufällig richtig, oft auch falsch. Das müsstest du eigentlich schon bemerkt haben. 6 teilt 342, also gibt es in $\begin{eqnarray} \mathbb F_{343}^ \end{eqnarray}$ eine Untergruppe der Ordnung 6 (diese stimmt mit der Einheitengruppe des Primkörpers $\begin{eqnarray} \mathbb F_7^* \end{eqnarray}$ überein). Daher hat das Polynom $\begin{eqnarray} T^6-1 \end{eqnarray}$ genau 6 Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb F_{343}^* \end{eqnarray}$ . Für jede dieser Nullstellen gilt $\begin{eqnarray} x^6=1\Rightarrow x^{12}=(x^6)^2=1 \end{eqnarray}$ , also sind sie auch Nullstellen von $\begin{eqnarray} T^{12}-1 \end{eqnarray}$ . Gäbe es weiter ein Element y der Ordnung 12, das nicht schon Element x der Ordnung 6 wäre, so würde dieses y eine Untergruppe der Ordnung 12 erzeugen, dann wäre aber 12 ein Teiler von 342. Dem ist nicht so, also gibt es genau 6 Nullstellen von $\begin{eqnarray} T^{12}-1 \end{eqnarray*}$ .

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