Schnittgerade dreier Ebenen mit Parameter

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goodguude Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade dreier Ebenen mit Parameter
Hallo matheboard!

Ich befinde mich gerade in der Prüfungsvorbereitung für Mathe 1 und komme soweit ganz gut klar. Lediglich eine Aufgabe bereitet mir gerade Kopfschmerzen, weil ich einfach gar keinen Ansatz wirklich finde.

Die Aufgabe lautet:

Gegeben sind drei Ebenen mit folgenden Gleichungen:

E1 : tx + y - z = -4
E2 : 3x - ty + z = 2
E3 : 7y - 5z = -16

Bestimmen Sie den Parameter t so, dass sich diese drei Ebenen in einer gemeinsamen Gerade
schneiden. Geben Sie die Gleichung dieser Geraden an.


Könnte mir jemand hier vom Schlauch, auf welchem ich just in diesem Moment stehe, runterhelfen? Hammer

Vielen Dank im Voraus!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3 Ebenen bilden ein Ebenenbüschel, wenn sie einander in einer Geraden schneiden.
In diesem Fall sind ihre Normalvektoren linear abhängig, weil sie in einer gemeinsamen Normalebene liegen.

Hilft dir das mal so weit?

Tipp: Bilde aus den Komponenten der Normalvektoren die dreireihige Determinante. Welchen Wert muss sie haben?
(Probe: Nicht alle Lösungen für t sind zutreffend, weil die lin. Abhängigkeit auch für die Konstanten gelten muss )

Alternativer Lösungsweg:
Die Ebenengleichung der dritten Ebene ist eine Linearkombination der beiden anderen Ebenengleichungen.

mY+
goodguude Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

Der Tipp mit der Linearkombination hilft mir in der Tat bei der Bearbeitung der Aufgabe.
Der erste Vorschlag war glaube etwas zu hoch für mich bis jetzt, muss mich mit dem Thema Determinanten mal intensiver beschäftigen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei richtiger Rechnung solltest du t = 2 erhalten.

mY+
goodguude Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe komischerweise zwei mögliche Ergebnisse für t raus. Eine davon ist jedoch t=2.
Ich werde im folgenden mal meine Rechnung offen legen.

Die Ebenen:



daraus resultierend die Normalvektoren:



da eine Linearkombination vorherrschen muss:



damit kann man dann ja ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen aufstellen:



aus III folgt:



nun habe ich Gleichung I und Gleichung II nach t umgestellt und gleichgesetzt:



dies dann einmal mit und einmal mit multipliziert und das aus III erhaltene Verhältnis von beiden eingesetzt:



anschließend mit der pq-Formel weitergemacht:



die jeweiligen dann wieder in Gleichung I eingesetzt:

a)


b)


Hoffe es ist nachvollziehbar, kannst du etwas dazu sagen?

Vielen Dank!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von goodguude
...

...

Dort sollte wohl + 75 stehen, aber abgesehen von diesem Schreibfehler stimmen die die Resultate!

Besser zu rechnen wäre allerdings, NICHT nach t umzustellen, sondern mittels zwei Gleichungen nach und aufzulösen (darin steht noch t) und diese beiden dann in die dritte Gleichung einzusetzen, somit bleibt dann eine (ebenfalls quadratische) Gleichung in aufzulösen:









(Diese Gleichung ergibt sich auch beim Nullsetzen der Determinante)



Somit bekommen wir die beiden t und die jeweils dazugehörigen Lambdas.
-----------

Nun gibt es dann tatsächlich 2 Lösungen für t, aber wie schon gesagt, nur eine erfüllt die gestellte Bedingung. Den Grund hatte ich dir auch schon genannt:

Die lineare Abhängigkeit muss auch für die Konstanten* der Ebenengleichungen gelten, also muss erfüllt sein:


--------------------------------------

(*) Die Antwort auf die Frage, warum das so sein muss, ergibt sich daraus, dass jede Ebenengleichung eine Linearkombination von zumindest 2 Ebenengleichungen des Büschels sein muss, soll deren Ebene dem Büschel angehören.



wenn







mY+
 
 
goodguude Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, super! Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe.
Da kann ich mir noch einiges an Wissen aneignen. smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist erfreulich! smile
Gute Nacht!

mY+
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