X stetige ZV, bestimme Dichte von dem Betrag von X

24.02.2015, 07:18

Halunke

X stetige ZV, bestimme Dichte von dem Betrag von X

Meine Frage:
Hey,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe.
Vielleicht kann mir jmd helfen.

Sei X eine stetige Zufallsvariable.
a) Bestimme die Verteilung von dem Betrag von X
b) Bestimme die Dichte des Betrags von X

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} <br /> a) F_{|X|}(x)= P(|X|\leq x)= P(-x\leq X \leq x)= P(X \leq x) - P(X\leq -x)= F_{X}(x) - F_{X}(-x)<br /> \\ <br /> b) Vermutung f_{X}(x) - f_{X}(-x) <br /> \end{eqnarray*}$
Aber wenn ich das ganze über R integriere bekommen ich 2. Es müsste aber, da es eine Dichte ist, 1 sein. Und genau hier komme ich nicht weiter. Jmd einen Idee?

24.02.2015, 08:36

HAL 9000

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Anzumerken ist, dass die Formel in a) nur für $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ gilt - für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ ist $\begin{align*} F_{|X|}(x)=0 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Halunke
b) Vermutung $\begin{eqnarray*} f_{X}(x) - f_{X}(-x) \end{eqnarray*}$

Falsch. Leite doch einfach a) ab - aber richtig, d.h. unter Beachtung der Kettenregel.

Zitat:

Original von Halunke
Aber wenn ich das ganze über R integriere bekommen ich 2.

Nein, mit dieser falschen Dichte bekommst du bei Integration über ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ den Wert 0 heraus.

Mit der richtigen Dichteformel, die zudem nicht auf ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , sondern nur auf $\begin{align*} \mathbb{R}_+ \end{align*}$ gültig ist, bekommst du den korrekten Gesamtwert 1 heraus.

24.02.2015, 12:23

Halunke

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$\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ hatte ich vergessen mit reinzuschreiben. Da hast du recht.

zu b)
Also wenn ich meinen Ausdruck aus a) ableite erhalte ich doch:

$\begin{eqnarray*} f_{X} (x) + f_{X}(-x) \end{eqnarray*}$

Aber wie komme ich dann mit meinem Integral auf?

[Danke]

24.02.2015, 12:26

Halunke

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Ahh okay hab es.

Dadurch dass ich ja nur auf ℝ+ bin bekomme ich meiner neuen Dichte wieder auf ganz R und somit auf 1 im Integral. Vielen Dank!!!

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