Sigma-endlich , Sigma-Additivität und Sigma-Subadditivität

24.02.2015, 09:55

Studentin1234

Sigma-endlich , Sigma-Additivität und Sigma-Subadditivität

Meine Frage:
Hey,

ich bin gerade am Anfang der Maßtheorie und habe jetzt die Eigenschaften eines Inhaltes m auf einem Ring R verstanden.
Allerdings kann ich mir keine Beispiele/Gegenbeispiele für einen Inhalt vorstellen der ?-endlich, ?-additiv bzw. ?-subadditiv ist.

Gibt es da irgendwas Geläufiges?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Meine Ideen:
Wäre zum Beispiel für ?-endlich das ein Beispiel:

Menge ist R, der Ring ist die Potenzmenge von R und der Inhalt m ist definiert über:
$\begin{eqnarray*} m(A)= 1, falls A\neq \mathbb R , 0 sonst \end{eqnarray*}$

Dann gibt es keine Folge von Mengen, die Vereinigt R ergibt und deren Inhalt jeder kleiner als unendlich ist...

24.02.2015, 10:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal: Du suchst Inhalte, die gewisse Anforderungen (an ein Maß) wie $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ -endlich usw. nicht aufweisen? verwirrt

Zitat:

Original von Studentin1234
Menge ist R, der Ring ist die Potenzmenge von R und der Inhalt m ist definiert über:
$\begin{eqnarray*} m(A)= 1, falls A\neq \mathbb R , 0 sonst \end{eqnarray*}$

Dieses $\begin{align*} m \end{align*}$ erfüllt nicht die geringsten Anforderungen an einen Inhalt, wie z.B. endliche Additivität:

$\begin{align*} m(\{1,2\}) = 1 \neq 2 = \mu(\{1\})+\mu(\{2\}) \end{align*}$ .

Da musst du dir schon was weit besseres einfallen lassen.

24.02.2015, 10:17

Studentin1234

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, stimmt, da habe ich nicht drauf geachtet.....Das ist gar kein Inhalt.

Und ich suche Beispiele von Inhalten, die solche Eigenschaften haben, und Beispiele von Inhalten, die solche Eigenschaften nicht aufweisen...
Einfach, damit ich mir mehr darunter vorstellen kann.

24.02.2015, 10:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Na nimm z.B. das Null-Maß $\begin{align*} \mu(A)=0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} A \end{align*}$ , das erfüllt so ziemlich alles, und das auf jeder nur denkbaren $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ -Algebra. Augenzwinkern

-----

Bekanntes Beispiel für einen Inhalt, der nicht $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ -additiv ist:

Als $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ -Algebra nehmen wir alle Teilmengen natürlicher Zahlen, die selbst oder deren Komplement endlich sind. Wir definieren nun

$\begin{align*} \mu(A) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{falls $A$ endlich} \\ 1 &\;\mbox{falls $\mathbb{R}\setminus A$ endlich}\end{cases} \end{align*}$ ,

dann ist dieses $\begin{align*} \mu \end{align*}$ zwar endlich additiv (was es als Inhalt ja sein muss), aber nicht $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ -additiv.

24.02.2015, 10:42

Studentin1234

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das 0-Maß ist verständlich, aber nicht sehr hilfreich.

Der nicht sigma-additive Inhalt ist aber schön nachvollziehbar:
Die Vereinigung aller natürlichen Zahlen ist ja N, also ist da das Maß 1, als Summe der Einzelinhalte erhalten wir aber 0 smile

Dieser Inhalt ist sigma-endlich, weil ich ja eine Folge von Teilmengen finde, die als Vereinigung N ergibt, bei der aber jeder Einzelinhalt kleiner als unendlich ist.

Gibt es noch ähnliche schöne Maße?
Vielen Dank schon einmal für dieses Beispiel!

24.02.2015, 10:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Studentin1234
Okay, das 0-Maß ist verständlich, aber nicht sehr hilfreich.

Wieso nicht? Du wolltest doch auch Beispiele, wo es klappt. Forum Kloppe

24.02.2015, 11:05

Studentin1234

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja schon, nur vielleicht nicht so ganz triviale Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Sigma-endlich , Sigma-Additivität und Sigma-Subadditivität

Verwandte Themen