Stetig + injektiv macht noch keine Einbettung

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Stetig + injektiv macht noch keine Einbettung
Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe ein kleines Problem bei folgendem Beispiel.

Sei Diese Abbildung ist bijektiv (bei entsprechendem Def.berreich) und stetig.

Nun heißt es, sie ist aber nicht offen, da (-1,1) zwar offen ist in aber nicht offen ist in mit der Teilraumtopologie.

Das verstehe ich nicht ganz! Wenn ich mit den Graph plotte und zwar nur für dann erhalte ich eben einen Teil dieser schrägen 8 (was das ganze Bild wäre).

Jetzt muss ich doch nur eine Umgebung groß genug um die Null legen, die den Teil komplett enhält. Der Schnitt der beiden ist dann eine offene Menge im Bild. Also ist doch das ganze Teil offen.

(hier ist doch mein Denkfehler, dass ich den ganzen Teilraum mit der offene Menge schneiden muss und nicht nur den Teil des Teilraums, von dem ich wissen will, dass er offen ist! Ist mir gerade aufgefallen)

Ein zweites Beispiel bei dem ich genau das gleich Problem habe ist folgendes:

, hier heißt es, dass offen ist in (das ist mir auch klar, denn es gilt: , also wegen Teilraumtopologie offen)

und ist nicht offen in , also dem Bild von , das verstehe ich nicht!

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe

Edit: Liegt es daran, dass ich keine offene Menge finde, so dass gilt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig + injektiv macht noch keine Einbettung
Das Problem ist, dass die Kurve die 0 erneut schneidet. Jede offene Umgebung bzgl. der Kurve in R^2 enhält beide Kurvenabschnitte.

Zur Frage 2: Das Bild ist die S^1, und um p(0) besitzt keinen offenen Ball.

Edit: Korrigiere: Es schneidet natürlich die 0 nicht noch einmal, aber es kommt beliebig nahe dran -- was genauso problematisch ist.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig + injektiv macht noch keine Einbettung
mh verstehe ich noch nicht so ganz.

Also erstmal das zweite.
ist ja der Startpunkt vom Teil meiner Kurve, die eine Teilmenge der Sphäre darstellt. Wenn ich jetzt zeigen möchte, dass diese Teilmenge () offen ist, dann müsste diese Menge mit diesem Punkt auch eine offene Umgebung besitzen. Die offene Umgebungen sind aber gerade bezüglich der Teilraumtopologie zu betrachten, also muss ich eine offene Menge in mit meinem gesamten Bild der Spähre schneiden und das muss wieder ganz in der Teilmenge liegen.

Wenn ich es mir aufmale, dann ist ja mein ganzes Bild der Vollkreis, also und das Bild der obere Halbkreis.

Wenn ich jetzt einen Ball um den Punkt lege und diesen mit schneide, dann erhalte ich als Umgebung immer auch ein bisschen was, was ausserhalb des oberen Halbkreises liegt, also einen Teil, der nicht im Bild der Teilmenge liegt, sonder auf dem unteren Halbkreis (der natürlich auch zum Gesamtbild der gehört.

Daher ist die Umgebung nicht komplett wieder im oberen Halbkreis und die Menge ist nicht offen.

habe ich das so richtig verstanden?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig + injektiv macht noch keine Einbettung
Genau. Dass du den unteren Halbkreis zwangsläufig mitschneidest ist das problematische.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig + injektiv macht noch keine Einbettung
ok gut, bei der anderen läuft die Problematik ja dann so ähnlich.

Wo wir gerade dabei sind, neben Einbettungen betrachtet man ja auch noch Identifizierungen.

in meinem Skript steht, dass das zweite auch keine Identifizierung ist, mit der gleichen Begründung. Aber eine Identifizierung induziert ja kein Homöomorphismus auf das Bild, sondern einen vom Quotienten auf den Bildraum. Daher verstehe ich nicht ganz was das Problem ist.

Ah ne ich habe das Problem verstanden!

Für eine Identifizierung muss ja gelten: (finale Topologie)

Im Skript nur fast die gleiche Begründung. Dieses mal ist nämlich nicht offen in aber offen in , was mir wegen der finalen Topologie meinen Widerspruch liefert.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig + injektiv macht noch keine Einbettung
Ich habe "Identifizierung" noch nie gehört, aber in dem Skript
http://www.uni-math.gwdg.de/tammo/sos.pdf
heißt es, U als Teilmenge vom Bild soll offen sein gdw. wenn offen ist. Und das gdw. läuft ja offenbar schief, da nicht offen ist, schon.

Edit: Sehr gut, hast es also selbst verstanden, während ich noch am tippen war.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetig + injektiv macht noch keine Einbettung
trotzdem Danke Freude Freude Freude
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