Reflektierter Strahl an einer Kuppel

24.02.2015, 15:47

Bmax

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Reflektierter Strahl an einer Kuppel

Hi Leute,

Die Aufgabenstellung
Die Unterseite einer verspiegelten Kuppel kann durch den Graphen der reellen Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=h-\sqrt{R^2-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ beschrieben werden (R = 2 m, h = 6 m). Wohin, d.h. in
welchen Punkt der x, y-Ebene, wird ein Lichtstrahl reflektiert, der ausgehend vom Punkt
P(x0, y0, 0) senkrecht nach oben gerichtet ist (x0 = y0 = 0, 5 m) ?

Bevor ich meinen Rechenweg aufschreibe würde ich erstmal fragen ob denn der weg so wie ich ihn gewählt habe richtig ist.
Also ich habe an dem Punkt, wo der Strahl reflektiert werden soll eine Tangentialebene erstellt.
Anschließend bin ich in die Vektorrechnung übergegangen. Ich habe den Vektor vom Punkt P zur Ebene(Dort wo der Strahl reflektiert werden soll) und den Normalenvektor aufgestellt. Dann mit der Formel $\begin{eqnarray*} R=V-2*(VN)*N \end{eqnarray*}$ mein Reflektierten Strahl ausgerechnet. Wenn ich jetzt die Winkel der beiden Vektore zum Normalenvektor berechne und vergleiche sind sie nicht identisch.
Wenn der Weg sinnvoll ist Big Laugh

Big Laugh

würde ich meine Rechnung posten. Wenn nicht, dann vergesst es und erklärt mir bitte wie ich es richtig mache. smile

smile

Danke und liebe Grüße
Max

24.02.2015, 15:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bmax
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=h-\sqrt{R^2-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion beschreibt eine von einer Deckenebene der Höhe h ausgehend nach unten (!) gewölbte Halbkugel. Das ist tatsächlich so gemeint? Denn unter der Kuppel eines Gebäudes stelle ich mir ja eher was nach oben gewölbtes vor? verwirrt

verwirrt

Kann natürlich sein, dass insgesamt eine Kugel das Gebäude oben abschließt: Außen ist die obere Halbkugel als Kuppel zu sehen - von innen in Bodennähe dagegen die untere Halbkugel inklusive deren Verspiegelung...

24.02.2015, 16:05

Bmax

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Ja also die Formel stimmt. Nach dem plotten habe ich mich auch erst mal etwas gewundert. Warum die kuppel nach oben auf geht, weiß ich auch nicht genau. So ist halt die Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

24.02.2015, 16:09

HAL 9000

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Na Hauptsache diese "Schale" ist nicht der obere Gebäudeabschluss - ich sage nur: Schneefall und dann -last. Big Laugh

Big Laugh

Zum geplanten Rechenweg: Ja, klingt soweit Ok, aber diese Anmerkung

Zitat:

Original von Bmax
Dann mit der Formel $\begin{eqnarray*} R=V-2*(VN)*N \end{eqnarray*}$ mein Reflektierten Strahl ausgerechnet. Wenn ich jetzt die Winkel der beiden Vektore zum Normalenvektor berechne und vergleiche sind sie nicht identisch.

verstehe ich nicht: Die Winkel sollten an sich gleich sein.

24.02.2015, 16:23

Bmax

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Ja das wäre dann wohl etwas blöd. Big Laugh

Big Laugh

Ok gut ich rechne es jetzt noch ein viertes mal durch wenn es dann immer noch falsch ist poste ich mal meine Lösung vielleicht mache ich ja Fehler beim rechnen. verwirrt

verwirrt

24.02.2015, 16:29

HAL 9000

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Ich weiß jetzt nicht, wie du den Tangentialebenen-Normalenvektor N bestimmt hast:

Jedenfalls kann man bei einer (Halb-)Kugel wie hier dazu einfach den Radiusvektor im Berührungspunkt nehmen.

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24.02.2015, 16:39

riwe

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RE: Reflektierter Strahl an einer Kuppel
das ist doch sooo schön symmetrisch, warum quälst du dich da mit R3 verwirrt

verwirrt

24.02.2015, 17:57

Bmax

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Also ich weiß nicht was ich falsch mache.

Meine Tangentialebene lautet: $\begin{eqnarray*} -3.862=\frac{\sqrt{14} }{14}x +\frac{\sqrt{14} }{14}y-z \end{eqnarray*}$
Dann ist ja mein Normalenvektor $\begin{eqnarray*} n=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{14} }{14} \\ \frac{\sqrt{14} }{14} \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Vektor a vom punkt (0.5/0.5/0) bis zum Reflexionspunkt (0.5/0.5/4.129)
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 4.129 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das bis dahin korrekt?

Wenn ich nämlich jetzt den Reflexionsvektor berechne und die Winkel zum Normalenvektor vergleiche komme ich nicht auf das selbe Ergebnis.

@riwe
Ich bin noch kein Profi in Mathe und was anderes ist mir nicht eingefallen Big Laugh

Big Laugh

24.02.2015, 18:14

riwe

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ich rechne dein Zeug jetzt einmal nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2015, 18:19

Bmax

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Herzlichen Dank smile

smile

24.02.2015, 18:27

riwe

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was ich sehe stimmt
wie geht´s weiter verwirrt

verwirrt

24.02.2015, 18:39

Bmax

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Wenn ich den richtigen Reflexionsvektor habe könnte ich die Geradengleichung aufstellen und somit den Durchstoßpunkt der x-y-Ebene berechnen.

Aber ich komme nicht drauf. unglücklich

unglücklich

25.02.2015, 11:57

riwe

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es geht zwar auch in R3 aber viel mühsamer, daher zunächst R2:

wir legen den Schnitt durch O, M und P, dann gilt

$\begin{eqnarray*} sin\alpha=\frac{x_0\cdot\sqrt{2}}{R} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\overrightarrow{OT}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} -sin2\alpha \\cos 2\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus kannst du nun die Koordinaten von S bestimmen, die du nun noch durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ dividieren mußt, um die "korrekten" x und y - Koordinaten zu gewinnen.

25.02.2015, 23:11

Bmax

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Erstmal danke für deine Mühe. smile

smile

Also ich weiß nicht ob das ganz richtig ist was ich hier rechne.

Also das mit dem Winkel passt ja. Komme ich auch hier auf 20.7°.

Der Vektor x lautet ja dann $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 0.5*\sqrt{2} \\ 4.129\end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix}-sin(2*20.7) \\ cos(2*20.7) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So um den Schnittpunkt zu berechnen muss ich ja schauen bei welchem Lambda y(oder die höhe h) 0 wird.
also $\begin{eqnarray*} 0=4.129+\lambda *cos(2*20.7) \end{eqnarray*}$ nach Lambda auflösen und in meine Gerade x einsetzen.

Dann erhalte ich den x-Wert $\begin{eqnarray*} 4.334 \end{eqnarray*}$ und der "korrekte" x-Wert lautet dann $\begin{eqnarray*} 3.07 \end{eqnarray*}$
Laut deiner Skizze müsste das ja mehr oder weniger stimmen Big Laugh

Big Laugh

Danke und liebe Grüße

Max

25.02.2015, 23:28

riwe

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Freude

du kannst ja nun die Probe machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x_r\approx 3.0750 \end{eqnarray*}$

26.02.2015, 11:14

Bmax

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Ok passt alles smile

smile

Nur noch eine kleine Frage da ich sowas noch nie gemacht habe. Wenn jetzt x0=y0 nicht 0.5 wären, sondern (4/6), dann kann ich das doch nicht so wie eben lösen oder? Dann muss ich ja über R3 gehen.

26.02.2015, 11:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bmax
Wenn jetzt x0=y0 nicht 0.5 wären, sondern (4/6), dann kann ich das doch nicht so wie eben lösen oder?

Ungünstig gewähltes Beispiel:

Wenn $\begin{align*} x_0^2+y_0^2 \geq R^2 \end{align*}$ , dann trifft der Strahl nicht mal die Kugel. Und ist $\begin{align*} \frac{R^2}{2}\leq x_0^2+y_0^2 < R^2 \end{align*}$ , dann trifft er zwar die Kugel, der reflektierte Strahl geht aber nach oben und trifft damit die Grundebene nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.02.2015, 11:31

riwe

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wenn du die Einschränkungen, die Hal 9000 soeben angegeben hat, beachtest, kannst du den oben skizzierten Weg immer (d.h. bei entsprechender Symmetrie) beschreiten:
1) lege die Ebene durch den gegeben Punkt $\begin{eqnarray*} P(x_0/y_0) \end{eqnarray*}$ , der Abstand von O ist dann entsprechend $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{x_0^2+y_0^2}\to\text{oben }x_0\cdot\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
2) am Ende transformierst du entsprechend zurück (möglich macht´s z.B. der Strahlensatz)

glaube ich zumindest Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.02.2015, 11:55

HAL 9000

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Klar, das Problem ist radialsymmetrisch: Ausgangs- und Zielpunkt des Strahles in der Grundebene liegen auf demselben Ursprungsstrahl, damit kann man sich das immer so "zurechtdrehen", wie es Werner skizziert hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.02.2015, 14:04

Bmax

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Okay danke euch beiden ich habe es verstanden.

Jetzt weiß ich wie ich Aufgaben dieser Art vereinfachen kann. smile

smile

Zwar blöd das mein Ansatz nicht so richtig will, aber über R2 ist es einfacher.

Großes Dankeschön und die Aufgabe ist somit gelöst! Freude

Freude

Gruß Max

26.02.2015, 14:15

riwe

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RE: Reflektierter Strahl an einer Kuppel

Zitat:

Original von Bmax
Hi Leute,

Dann mit der Formel $\begin{eqnarray*} R=V-2*(VN)*N \end{eqnarray*}$ mein Reflektierten Strahl ausgerechnet. Wenn ich jetzt die Winkel der beiden Vektore zum Normalenvektor berechne und vergleiche sind sie nicht identisch.
Wenn der Weg sinnvoll ist Big Laugh

Big Laugh

würde ich meine Rechnung posten. Wenn nicht, dann vergesst es und erklärt mir bitte wie ich es richtig mache. smile

smile

Danke und liebe Grüße
Max

wo hast du denn diese Formel her, und was ist was verwirrt

verwirrt

wenn du noch einen Weg in R3 haben willst, auch da kann dir geholfen werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.02.2015, 14:47

HAL 9000

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RE: Reflektierter Strahl an einer Kuppel
Sofern $\begin{align*} N \end{align*}$ der normierte Normalenvektor der Reflexions-Tangentialebene ist, kommt das schon hin (einfach mal "aufmalen"):

$\begin{align*} (VN)N \end{align*}$ ist dann die Projektion des einfallenden Vektors $\begin{align*} V \end{align*}$ auf $\begin{align*} N \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} -2(VN)N \end{align*}$ ist gerade die Diagonale des von $\begin{align*} (-V) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} R \end{align*}$ aufgespannten Rhombus.

26.02.2015, 15:09

riwe

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RE: Reflektierter Strahl an einer Kuppel
dankeschön

26.02.2015, 17:12

Bmax

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RE: Reflektierter Strahl an einer Kuppel
Ja wenn wir jemand sagen könnte wie ich den reflektierten Vektor korrekt berechne, kann ich die Aufgabe auch in R3 lösen.

Mit der Formel komme ich nicht auf den richtigen Vektor. traurig

traurig

Oder ich bin zu blöd zum rechnen. Big Laugh

Big Laugh

26.02.2015, 17:44

riwe

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RE: Reflektierter Strahl an einer Kuppel

Zitat:

Original von Bmax
Ja wenn wir jemand sagen könnte wie ich den reflektierten Vektor korrekt berechne, kann ich die Aufgabe auch in R3 lösen.

Mit der Formel komme ich nicht auf den richtigen Vektor. traurig

traurig

Oder ich bin zu blöd zum rechnen. Big Laugh

Big Laugh

sicher nicht zu blöd, aber du hast vermutlich eine LESESCHWÄCHE:
NORMIERE den Normalenvektor und rechne dann mit ihm weiter, wie HAL 9000 geschrieben hat
also im Endeffekt

$\begin{eqnarray*} \vec{r}=\vec{v}-2\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{n^2}\cdot\vec{n} \end{eqnarray*}$

(hoffentlich richtig)

26.02.2015, 19:45

Bmax

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RE: Reflektierter Strahl an einer Kuppel
Ich habe jetzt mit dem normierten Normalenvektor gerechnet und es hat alles geklappt. smile

smile

Hätte ich das mal eher gewusst.

@riwe
Ich habe es nicht nach der von dir gestellten Formel berechnet, sondern den normierten Vektor vorher extra berechnet und dann die eigentliche Formel genommen.

Ok super jetzt weiß ich wie es in R3 als auch in R2 funktioniert.

Großes Dankeschön an euch zwei. Freude

Freude

Gruß Max

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