Ortskurve Extrema

24.02.2015, 23:29

Tante Emma

Ortskurve Extrema

Meine Frage:
Hallo und Hilfe,
ich lerne gerade noch für eine wichtige Arbeit und komme schon ewig nicht weiter. Wäre mehr als super, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich komme an einer ganz bestimmten Stelle bei den Ortskurven nicht weiter. Wenn man nur ein Extrema hat etc., dann verstehe ich ja, wie dann die Ortskurve aussieht. Aber oft hat man ja 2 oder so und bei manchen Aufgaben gibt es trotzdem nur eine Ortskurve.

Meine Ideen:
Beispiel: TP(Wurzel a/2*Wurzel a)
HP (- Wurzel a/ - 2* Wurzel a)

nehmen wir zunächst den TP. x = Wurzel a (impliziert ja, dass x größer als 0 sein muss, da ja Wurzel a größer 0 ist)
Daraus folgt dann, x^2 = a. Eingesetzt ergibt das y = 2 /x/ (Betrag). Da kann ich jetzt aber y = 2x schreiben, weil ich oben schon gesagt habe, dass x > 0 ist. Oder wie? Sonst wäre doch y = -2x auch eine LÖsung?
Und genauso beim HP:
x = -Wurzel a (-> x < 0, da ja Wurzel a positiv ist und dort ja minus Wurzel a steht).
Eingesetzt ergibt das y = -2/x/ (da ich vorher gesagt habe, dass x < 0 ist, folgt daraus, dass y = 2x ist und eben auch nicht y = 2x und y = -2x, oder?
Sind meine Schlussfolgerungen richtig oder habe ich das völlig falsch begründet? Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.....Danke schonmal..

25.02.2015, 00:40

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, daß Du die Funktion nicht angegeben hast, mir scheinen nämlich Hoch- und Tiefpunkt vertauscht. Zumindest, wenn ich auf $\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac1ax^3+3x \end{eqnarray*}$ tippe. verwirrt

Zitat:

Daraus folgt dann, x^2 = a

Laß diese Umformung bleiben, setze einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} =x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} y=2\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ein. (Ebenso beim anderen Extremwert.)
$\begin{eqnarray*} y=2x \end{eqnarray*}$ ist dann die Ortskurve der Extrempunkte, eine Fallunterscheidung für x größer oder kleiner Null liefert dann nur noch die Art des Extrempunktes.
Und: Bitte Definitionsmenge von a beachten.

25.02.2015, 05:23

tante emma

Auf diesen Beitrag antworten »

tausend dank. fkt lautet a/x + x

war meine Überlegung denn falsch?. warum muss ich hier die d-menge beachten?
vielen dank
_______________________________________________________

Und wie kann ich dann eine Fallunterscheidung machen, für welche x ich ein HP oder TP habe?

Tausend Millionen Dank nochmal.
_______________________________________________________

Kann mir das vielleicht noch jemand erklären? Wäre super...... Tausend Dank schonmal
_______________________________________________________

Niemand????? traurig

Ich versteh das einfach nicht. Auch nicht so wirklich, warum man bei Fallunterscheidungen manchmal a>0, a<0 und a= 0 untersucht, dann aber wieder mal das a = 0 weglässt. Kann mir das jemand erklären?

Edit (mY+): Mehrfachposts zusammengefügt.

25.02.2015, 18:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Lasse bitte die Drängelei und den Spam.
Wenn jemand etwas weiss, wird er es dir sicher mitteilen ...

Die Mehrfachposts werden zusammengeführt, der Spam entfernt.

---------------------------------

Zur Frage: Womit kannst du entscheiden, ob ein Extremum (nur die Mehrzahl heisst Extrema) ein (relatives) Maximum oder Minimum darstellt?
Hinweis: Monotonieverhalten, Vorzeichen der Krümmung

Definitionsmenge: Wenn x oder ein Term in x im Nenner eines Bruches steht, gibt es x-Werte, die dort nicht eingesetzt werden dürfen, weil .. (?)

mY+

25.02.2015, 18:55

Tante Emma

Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Spam?

25.02.2015, 20:47

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Beitrag, der nur aus einem einzigen (Hammer-)Smiley besteht.
Du wirst dich doch noch daran erinnern können?

Hinweis:
Beiträge, die nur Hilferufe, Drängeleien und sonstiges nichts Essentielles enthalten, werden in einen globalen Spam-Ordner verschoben.

Und sonst (zur Frage/Antwort) hast du nichts zu sagen?

mY+

25.02.2015, 21:04

Tante Emma

Auf diesen Beitrag antworten »

ach so, sorry, bei spam habe ich irgendwie an was anderes gedacht.
war nur etwas verzweifelt.

also wie man allgemein extrema bestimmt, ist mir bekannt. Ich war nur bei Funktionenscharen verwirrt. Ich habe halt bei a aus R eine FAllunterscheidung für a>0, a<0 und a = 0 vorgenommen. Bei manchen Lösungen habe ich aber nun gesehen, dass einige das nur für a>0 oder a<0 prüfen. Das verwirrt mich irgendwie.

Zumal ich dazu noch Aufgaben habe, bei denen die Extrema beispielsweise bei x=0, x=a/2 und x = -a/2 liegen.
Wenn ich da bei den letzten beiden Stellen eine FAllunterscheidung mache und a = 0 überprüfe, habe ich ja eigentlich schon meine x=0 Stelle, oder?

Dann müsste ich doch bei den letzten beiden Fällen gar nicht mehr a=0 überprüfen, weil ich ja schon x=0 überprüft habe und das ja das gleiche ist, oder?

Tausend Dank..... smile

25.02.2015, 22:52

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Fragen gehen jetzt leider etwas durcheinander (zumal Du einen weiteren Thread mit einem ähnlichen Thema eröffnet hast), ich versuche mal meine Antwort zu sortieren und beziehe mich auf die von Dir angegebene Funktion. Augenzwinkern

Für den Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mußt Du schauen, ob im Rahmen der Funktionsuntersuchung mathem. Gesetze verletzt werden könnten. Es wird aus $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Wurzel gezogen, also gilt schon mal $\begin{eqnarray*} a\geq 0. \end{eqnarray*}$ Für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ vereinfacht sich die gebrochenrationale zu einer linearen Funktion, welche keine Extrema besitzt. Also gelten die Extrempunkte und damit auch die Ortskurve nur für $\begin{eqnarray*} a > 0. \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion zwar definiert, nur eben ohne Extremstellen.
Oftmals wird eine Einschränkung bereits in der Aufgabenstellung vorgenommen, also bitte genau hinschauen!

Für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt es zunächst nur die Einschränkung $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ , andernfalls würde man durch 0 teilen.
Die Ortskurve $\begin{eqnarray*} y=2x \end{eqnarray*}$ läßt sich mit x>0 für Hochpunkte und x< 0 für Tiefpunkte detaillierter angeben, dies hängt aber auch von der Fragestellung ab. Wird nur nach der Ortskurve der Extrempunkte gefragt? Oder nach der Kurve der Hochpunkte? etc.

Zitat:

Dann müsste ich doch bei den letzten beiden Fällen gar nicht mehr a=0 überprüfen, weil ich ja schon x=0 überprüft habe und das ja das gleiche ist, oder?

Grundsätzlich gilt: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sind nicht das gleiche! Big Laugh

Mehr möchte ich aber zu diesem neuen Beispiel nicht sagen.

25.02.2015, 23:12

Tante Emma

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank erstmal.
Ich hänge gerade irgendwie an einigen kleinen Ecken, was mich gerade ziemlich blockiert... unglücklich

Tausend Dank aber schon mal für deine HIlfe.

Also muss ich bei diesem Beispiel dann a = 0 gar nicht kontrollieren (bzw. besser deine Begründung dazuschreiben)?
Für a < 0 hat die Funktion aber keine Extrema, da ich eine Wurzel ziehen muss. Das alles sehe ich aber erst im Laufe der Berechnung,, oder?

a und x ist nicht dasselbe, aber wenn ich als mögliche Extrema x =0, x = a/2 rausbekomme, dann ist ja bei der fallunterscheidung x = 0/2 = 0 doch von der Berechnung dasselbe was ich auch bei der Untersuchung von x = 0 rausbekommen habe, oder?
Muss ich denn prinzipiell bei Funktionenscharen immer auch a = 0 überprüfen, wenn a aus R ist?

Ich habe beispielsweise die Funktion f(x) = x^4 - ax^2.
mögliche Extrema bei x = 0, x = plus/minus (Wurzel aus a/2).
da kann a ja nur größer oder gleich null sein, da sonst die Determinante negativ wäre.
Also muss ich bei der Fallunterscheidung (nach der hinreichenden Bedingung) nur a > 0 überprüfen. Aber eigentlich ja auch noch a = 0, oder?
Aber für a = 0 ist die zweite Ableitung f(x) = 12x^2. Da kann man doch jetzt gar nicht sagen, ob ein HP oder TP etc. vorliegt, weil das ja für alle x ungleich null ungleich null ist... OHje. Ich bin echt etwas verwirrt.
GROßEN DANK FÜR DIE HILFE

25.02.2015, 23:45

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also muss ich bei diesem Beispiel dann a = 0 gar nicht kontrollieren

Eben doch. Für a=0 fällt ein Teil des Funktionsterms weg, das ist immer verdächtig und bedarf der Kontrolle.

Zitat:

Das alles sehe ich aber erst im Laufe der Berechnung,, oder?

Ja. Du kannst Probleme nur lösen oder erkennen, wenn sie auftreten. Je nach Erfahrung allerdings... eventuell... "sieht man sofort"... oder auch nicht...

Zitat:

aber wenn ich als mögliche Extrema x =0, x = a/2 rausbekomme, dann ist ja bei der fallunterscheidung x = 0/2 = 0 doch von der Berechnung dasselbe was ich auch bei der Untersuchung von x = 0 rausbekommen habe, oder?

Nein, x=0/2 würde nur für a=0 gelten, fraglich, ob es sich dann überhaupt noch um ein Extremum handelt.

Zitat:

Muss ich denn prinzipiell bei Funktionenscharen immer auch a = 0 überprüfen, wenn a aus R ist?

Ich empfehle es. Bei der gebr. rat. Funktionsschar würden die ermittelten Hoch- und Tiefpunkte bei a=0 aufeinanderliegen, so etwas sollte einem immer verdächtig erscheinen. Augenzwinkern

Zitat:

Ich habe beispielsweise die Funktion f(x) = x^4 - ax^2.

Für a=0 verbliebe nur f(x) =0 mit einem Tiefpunkt. (Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle x=0)

Zitat:

da sonst die Determinante negativ wäre.

Der Term unter der Wurzel heißt Radikand, bei der pq-Formel auch Diskriminante genannt. smile

25.02.2015, 23:50

Tante Emma

Auf diesen Beitrag antworten »

oh man, tausend Dank... Jetzt wird alles klarer.

Für a=0 verbliebe nur f(x) =0 mit einem Tiefpunkt. (Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle x=0)

da kann ich dann ja eben nicht mit der dritten Ableitung schauen, ob die ungleich Null ist und somit ein Sattelpunkt vorliegt, oder?
Vorzeichenwechsel hierbei wird aber kompliziert. Muss man dort dann direkt auch wieder eine Fallunterscheidung machen?
Ganz lieben Dank nochmal für deine große Hilfe... smile

26.02.2015, 00:13

opi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Vorzeichenwechsel hierbei wird aber kompliziert. Muss man dort dann direkt auch wieder eine Fallunterscheidung machen?

Ganz so kompliziert ist es nicht.
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3 \end{eqnarray*}$ ist für x<0 negativ, da das neg. Vorzeichen nicht durch einen geradzahligen Exponenten "wegquadriert" wird.
Für x>0 ist f' positiv, wo sollte auch ein negativer Wert herkommen?
Rechnerisch kannst Du Dir dies auch klarmachen, indem Du z.B. -1 und 1 einsetzt.
Bei einem VZW von - nach + liegt ein Tiefpunkt vor. (Stelle Dir die Steigungen des Funktionsgraphen in der Nähe des Extremums vor.)

Neue Frage »

Antworten »

Ortskurve Extrema

Verwandte Themen