Schnittwinkel im Raum

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25.02.2015, 15:42	Peter2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittwinkel im Raum Hallo liebes Matheboard, wir behandeln für die analytische Geometrie Schnittwinkel. Da gibt es ja zwei Formeln - die mit Sinus und die mit Kosinus. Aber wofür verwende ich die eine und wofür die andere? Das ist mit irgendwie nicht klar. Unser Lehrer meinte mal nebenbei glaube, dass für den Schnittwinkel von Ebene-Ebene immer die Sinusformel genommen werden muss. Ist das so? Oder gibt es da irgendeine Eselsbrücke oder sowas? Die Formeln kann ich anwenden darum gehts also nicht. Nur wann ich die eine und wann ich die andere verwenden muss ist unklar. Hoffe ihr könnt mir da helfen!
25.02.2015, 15:50	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnittwinkel im Raum eher umgekehrt: der Cosinus wird für "gleiches" verwendet, also Ebene - Ebene oder Gerade - Gerade der Sinus beim Winkel von Gerade und Ebene wegen $\begin{eqnarray} sin\alpha = cos(\frac{\pi}{2} -\alpha) \end{eqnarray}$ das Warum sollte klar sein
25.02.2015, 16:06	Peter2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ja das kann sein, dass das umgedreht war. Ich hatte es mir leider nicht aufgeschrieben. Ebene-Ebene und Gerade-Gerade => Kosinus Ebene-Gerade => Sinus das ist immer so ja? "das Warum sollte klar sein" Nein leider nicht. Wir haben die Formeln bekommen und besonders drüber geredet hat der Lehrer nicht. Mir ist nich klar warum mal Sinus und mal Kosinus...
25.02.2015, 18:03	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
weil man bei Ebene - Gerade eigentlich den Winkel zwischen der Geraden und dem Normalenvektor bestimmt, und bekanntlich steht der/ein Normalenvektor eben senkrecht auf die Ebene. Der Zusammenhang von Sinus und Cosinus steht oben
26.02.2015, 22:57	Peter2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ok Zusammenhang von Sinus und Kosinus ist schon klar. Die Formeln aber trotzdem nicht. Soweit Danke.
27.02.2015, 00:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Winkel zwischen Gerade und Ebene wird - wie schon gesagt - zunächst der Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zwischen der Geraden und dem Normalvektor der Ebene bestimmt. Diesen muss man von $\begin{eqnarray} 90° \end{eqnarray}$ subtrahieren, weil der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha = 90° - \varphi \end{eqnarray}$ = Gerade-Ebene zu ermitteln ist. Wir haben nun einerseits $\begin{eqnarray} \cos \varphi \end{eqnarray}$ und wollen aber andererseits daraus lieber gleich $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ erhalten. Deswegen verwenden wir $\begin{eqnarray} \cos \varphi = \sin (90° - \varphi) = \sin \alpha \end{eqnarray}$ Jetzt klar? mY+
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27.02.2015, 13:51	Peter2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, ok ich glaube ich drück mich nicht so gut aus. Nochmal, der Zshg zwischen Sinus und Kosinus ist mir klar!!! Ich verstehe nicht woher die Formeln kommen. (ich weiß nicht wie du das so schön schreibst?) cos(alpha) = (a * b) / ( \|a\| * \|b\| ), wobei das erste * das Vektorprodukt ist. Ich finde das iwie überhaupt nicht klar, dass da wirklich der gesuchte Winkel rauskommt. Und wie gesagt, unser Lehrer hat dazu nix weiter gesagt. Das sind die Formeln und das wars...
27.02.2015, 14:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittels LaTeX kann man so "schön" schreiben. Es gibt hier einen Formeleditor und du kannst bei einzelnen Beiträgen auf "Zitat" klicken, um zu sehen, wie die Ausdrücke aussehen. --------- Die Herkunft der Formel basiert auf der Definition des skalaren Produktes zweier Vektoren. Dieses ist gleich dem Produkt aus dem Betrag (der Länge) des einen Vektors und der Länge der Projektion des anderen Vektors auf diesen. Laut den Gesetzen der Trigonometrie (im rechtwinkeligen Dreieck) ist die Länge der Projektion $\begin{eqnarray} b_a \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \vec b \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_a = \| \vec b\| \cos \varphi; \quad \varphi = \angle (\vec a, \vec b) \end{eqnarray}$ und somit das skalare Produkt $\begin{eqnarray} \vec a \vec b = \|\vec a\| \cdot \|\vec b\| \cdot \cos \varphi \end{eqnarray*}$ mY+
27.02.2015, 16:27	Peter2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok. Dann ist die Formel ja eigentlich nur die Umstellung der Skalarmultiplikation... Warum sagt der einem sowas nicht? Ich hab mir nochmal die Einführung der Skalarmultiplikation angeschaut was du mit Projektion meinst. Jetzt macht das auch alles erst mal Sinn. Lieben Dank.

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