Berechnung des Konvergenzradius - komme auf kein sinnvolles Ergebnis

25.02.2015, 17:43	arif.yesil	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Konvergenzradius - komme auf kein sinnvolles Ergebnis Meine Frage: Hallo alle zusammen, ich bereite mich gerade auf meine Mathe3-Klausur vor und komme leider mit Konvergenzradien noch nicht ganz so klar. Unzwar habe ich folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{x^{n}}{((2n+1)^n2^n)} \end{eqnarray}$ Ich soll den Konvergenzradius der Potenzreihe bestimmen und die Ränder angeben. Leider habe ich auch kein Ergebnis, sodass ich nicht vergleichen kann, daher hoffe ich mal, dass ihr mir helfen könnte. Schonmal danke im Voraus Seid gnädig mit mir, dass ist mein erster Post. Meine Ideen:* Ich hab bereits versucht mit der Formel $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{an}{an+1} \| \end{eqnarray}$ den Konvergenzradius r zu bestimmen, doch komm ich leider immer auf der Ergebnis ?. Dieses kommt mir jedoch unsinnig vor, da die Einzelglieder immer kleiner werden, müsste ein Grenzwert erreicht werden.
25.02.2015, 17:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte es um die Potenzreihe $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(2n+1)^n\cdot 2^n} \end{align}$ gehen, dann ist der Potenzreihenkoeffizient gleich $\begin{align} a_n = \frac{1}{(2n+1)^n\cdot 2^n} \end{align}$ , d.h. in deiner Angabe muss das $\begin{align} x^n \end{align}$ weg. Schließlich sind in der von dir genannten Formel $\begin{align} r = \lim_{n\to\infty} \left\| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\| \end{align}$ diese Koeffizienten $\begin{align} a_n \end{align}$ gemeint, NICHT die damit verbundenen Reihenglieder $\begin{align} a_nx^n \end{align}$ - ein leider allzu häufig beobachteter Fehler. Insgesamt scheint hier die Cauchy-Hadamard-Formel $\begin{align} r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}} \end{align}$ eher angebracht, mit deutlich einfacherer Rechnung.
25.02.2015, 18:16	arif.yesil	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Diese Form habe ich auch schon durchgeführt, dort komme ich auch auf das Ergebniss r= $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Habe ich nur ein Denkfehler oder ist dieses Ergebnis richtig ?
25.02.2015, 18:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist richtig.
25.02.2015, 18:31	arif.yesil	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal dafür. Ich häng einfach mal eine weitere Frage hinterher. Gefragt ist in dieser Aufgabe noch, dass man die Ränder untersuchen soll. Wenn nun also das Ergebniss $\begin{eqnarray} -\infty \leq x \leq \infty \end{eqnarray}$ ist. Wie stellt man das hier an? Gruß Arif
25.02.2015, 18:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdenken!!! Bei Konvergenzradius $\begin{align} \infty \end{align}$ gibt es keine Ränder: Es bedeutet, dass diese Potenzreihe für alle reellen (und auch komplexen) $\begin{align} x \end{align}$ konvergiert.
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25.02.2015, 19:07	arif.yesil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss jetzt einfach nochmal nachfragen, weil wir das Thema so garnicht hatten und ich auch im Netz nicht viel dazu finden kann. Wie würde ich die Ränder untersuchen, falls welche vorhanden sind ? Besten Dank Arif
25.02.2015, 19:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na die Randwerte $\begin{align} x=r \end{align}$ sowie $\begin{align} x=-r \end{align}$ einsetzen und schauen, ob die Reihe da konvergiert oder nicht - konkretere Empfehlungen gibt es für den allgemeinen Fall nicht.

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