Hauptidealring, Primideal

25.02.2015, 19:28	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptidealring, Primideal Sei R ein Hauptidealring und $\begin{eqnarray} p \subseteq R \end{eqnarray}$ ein Primideal. Zeigen Sie $\begin{eqnarray} R/p \end{eqnarray}$ ist ein Hauptidealring. Hallo, wenn $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ein maximales Ideal ist folgt $\begin{eqnarray} R/p \end{eqnarray}$ Körper woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} R/p \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring ist. Aber nur in einen HauptidealBEREICH folgt aus p Primideal, dass p ein maximales Ideal ist, ich befinde mich jedoch hier nur in einen Hauptidealring - also darf ich das nicht so machen. Dass $\begin{eqnarray} R/p \end{eqnarray}$ ein Ring ist als Faktorring ist klar, bleibt zuzeigen, dass jedes Ideal von $\begin{eqnarray} R/p \end{eqnarray}$ ein Hauptideal ist(von einen Element erzeugt). Ich weiß dass für jedes Ideal I von $\begin{eqnarray} R/p \end{eqnarray}$ gibt es ein Ideal $\begin{eqnarray} J : p \subseteq J \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} I=J/p \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ Hauptidealring folgt $\begin{eqnarray} (x)=J \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} I=(x)/p =\{rx+p\|r\in R\} \end{eqnarray}$ Nun komme ich nicht recht weiter.. Liebe Grüße

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