Menge von stetigen Funktionen

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Menge von stetigen Funktionen
Meine Frage:
Hallo Leute, ich habe eine kleine Frage.

Die Abbildung
ist injektiv?

Antwort: Ja, denn liegt dicht in und wenn zwei Abbildungen auf der dichten Teilmenge übereinstimmen, dann stimmen sie auch auf ganz überein, woraus die Injektivität folgt.

Die Abbildung ist auch surjektiv? (Antwortet lautet NEIN)

Das verstehe ich noch nicht so ganz, welche stetige Abbildung auf erhalte ich nicht durch eine Einschränkung?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe

Wir hatten mal die folgende Abbildung in der Übung, vielleicht passt die ja!

für und , für , wobei

Diese Funktion ist stetig auf aber unstetig auf . Es kann also keine stetige Funktion auf ganz geben, welche durch Einschränkung zu diesem wird.

richtig?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von stetigen Funktionen
Zitat:
Original von steviehawk
welche stetige Abbildung auf erhalte ich nicht durch eine Einschränkung?

Z.B. .

Bei deiner Funktion (Thomaesche Funktion) ist es genau umgekehrt: Sie ist stetig in allen irrationalen Punkten und unstetig in allen rationalen (mal davon abgesehen, dass sie nicht wohldefiniert ist; worauf wird denn die 0 abgebildet?)

Edit: Habt ihr in der Übung die Funktion wirklich auf ganz definiert? Ich kenne sie nur mit Definitionsbereich . Sonst müsste man z.B. noch angeben, auf was negative Zahlen abgebildet werden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@10001000Nick1

Mit der (im Zusammenhang mit Brüchen üblichen) Zusatzforderung wird es schon eindeutig.
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