An welchen Stellen ist die folgende Funktion differenzierbar?

26.02.2015, 20:20

TierraT

An welchen Stellen ist die folgende Funktion differenzierbar?

Meine Frage:
Hallo!
Folgende Funktion ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)^{x-1} \end{eqnarray*}$ für x in (1,2]
und $\begin{eqnarray*} f(x)=0,6321...+xe^{-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq 1 \end{eqnarray*}$

Die Frage lautet nun, wo f differenzierbar ist.

Meine Ideen:
Auf $\begin{eqnarray*} ( -\infty, 1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f=\frac{x}{e^x} \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion ist differenzierbar, solange $\begin{eqnarray*} e^x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dies ist aber (glaube ich) nie der Fall, da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat.

Das nächste Intervall wäre (1,2], wo $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)^{x-1} \end{eqnarray*}$ gilt. Falls x-1 positiv ist, haben wir einfach eine Polynomfunktion, welche immer differenzierbar ist. Falls x-1 negativ ist, hätten wir $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)^{x-1}} \end{eqnarray*}$ , wobei x-1 im Exponent positiv ist. Der Nenner ist gleich 0, falls (x-1)=0 ist und der Exponent ungleich 0 ist, was aber unmöglich ist. Also ist die Funktion in diesem Intervall überall stetig...?

Und dann bleibt uns nur noch die Funktion an der Stelle 1. f(1)=1...und muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} lim_{t \to 1^+}\frac{f(t)-f(1)}{t-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} lim_{t \to 1^-}\frac{f(t)-f(1)}{t-1} \end{eqnarray*}$ berechnen?

Stimmt das bis jetzt so?

26.02.2015, 21:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von TierraT
und $\begin{eqnarray*} f(x)=0,6321...+xe^{-x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq 1 \end{eqnarray*}$

Eine unsägliche Funktionsdarstellung. unglücklich

Falls du $\begin{align*} f(x)=1-e^{-1}+xe^{-x} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\leq 1 \end{align*}$ meinen solltest, dann schreib es doch auch bitte so. Mit deiner Darstellung ist nämlich wirklich nicht entscheidbar, ob f im Punkt x=1 stetig (oder womöglich sogar differenzierbar) ist - oder nicht.

26.02.2015, 22:12

TierraT

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Ja, das meinte ich
Ein Teil des Beispiels war, eine Konstante c so zu bestimmen, dass die Funktion stetig ist. Also ja, ich meinte $\begin{eqnarray*} f(x)=1-e^{-1}+xe^{-x} \end{eqnarray*}$

28.02.2015, 14:44

TierraT

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RE: An welchen Stellen ist die folgende Funktion differenzierbar?
Kann mir irgendwer helfen?

03.03.2015, 11:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von TierraT
Auf $\begin{eqnarray*} ( -\infty, 1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f=\frac{x}{e^x} \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion ist differenzierbar, solange $\begin{eqnarray*} e^x \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dies ist aber (glaube ich) nie der Fall, da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat.

Kann man soweit zustimmen. Wobei man einfacherweise das gleich als Produkt der differenzierbaren Funktionen $\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} e^{-x} \end{align*}$ betrachten kann.

Zitat:

Original von TierraT
Das nächste Intervall wäre (1,2], wo $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-1)^{x-1} \end{eqnarray*}$ gilt. Falls x-1 positiv ist, haben wir einfach eine Polynomfunktion, welche immer differenzierbar ist.

Nein: Eine Polynomfunktion ist es nur bei konstanten, nichtnegativ ganzzahligen Exponenten - davon kann hier kein Rede sein. Differenzierbar ist die Funktion auf (1,2) aber dennoch.

Zitat:

Original von TierraT
Falls x-1 negativ ist [...]

Sinnlose Betrachtungen: Wir sind auf (1,2], da ist $\begin{align*} x-1 \end{align*}$ stets positiv.

Zitat:

Original von TierraT
Und dann bleibt uns nur noch die Funktion an der Stelle 1. f(1)=1...und muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} f_+'(1)=\lim_{t \to 1^+}\frac{f(t)-f(1)}{t-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_-'(1) = \lim_{t \to 1^-}\frac{f(t)-f(1)}{t-1} \end{eqnarray*}$ berechnen?

Richtig. Die Stetigkeit ist ja bereits gewährleistet.

Bei korrekter Rechnung müsstest du auf $\begin{align*} f_-'(1)=0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} f_+'(1)=-\infty \end{align*}$ (d.h. rechtsseitig nicht differenzierbar) kommen.

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