Ohne Taschenrechner den Logarithmus berechnen

26.02.2015, 21:36

JonDoe

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Ohne Taschenrechner den Logarithmus berechnen

Meine Frage:
Ich muss demnächst meine Klausur in analytischer Chemie schreiben und da muss ich ohne taschnerechner zurecht kommen.
Wenn ich jetzt zB die pH-Werte von Pufferlösungen berechnen will, dann kommt da oft die Gleichung der Form pH = pKs + log Ac?/HAc.
Jetzt mal angenommen wir haben das Zwischenergebnis 4,75 + log 2,3. Wie berechne ich scriftlich den Logarithmus? In den meisten Fällen komm ich mit dem dekadischen Logarithmus (also das mit dem zu Basis 10) zurecht, aber nicht in diesem Rechenbeispiel. Ist bestimmt eigentlich einfach, aber ich komm da nicht so rauf und in der Schule hab ich zugegeben eher gepennt wenns um solche Sachen ging ^^

Meine Ideen:
Also ich habe log 2,3 und raus kommt irgendwas mit 0,36. Weiß jedoch nicht wie man sowas schriftlich berechnet.

26.02.2015, 22:01

riwe

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RE: Wie ohne Taschnerechner den Logarithmus berechnen?
da wirst du viel Glück oder einen Rechenschieber oder eine Logarithmentafel brauchen,
das schaut nicht gut aus böse

böse

ich habe auf meine alten Tage noch die Logarithmen von 1 bis 10 (besonders letzteren) im Kopf, daher könnte ich das noch irgendwie abschätzen:

$\begin{eqnarray*} log 2.3 \approx log\frac{ 3\cdot2.3}{3}\approx log \frac{7}{3}=0.84510-0.47712\approx 0.37 \end{eqnarray*}$

also auswendig lernen oder schummeln smile

smile

26.02.2015, 22:35

JonDoe

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RE: Wie ohne Taschnerechner den Logarithmus berechnen?
Vielen Dnake für die Antwort! smile

smile

hmm, das sieht in der Tat auf dem ersten Blick problematisch aus geschockt

geschockt

Es werden aber wahrscheinlich eh Werte dran kommen die einfach zu berechnen sind, vielleicht wäre eine einfacheres Beispiel angebracht Big Laugh

Big Laugh

Also nochmal fürs Protokoll: Wie kommen die 0,84510-0,47712 zustande? Klar wenn man in tacshenrechner 7 oder 3 einsetzt kommen jeweisl die Ergebnisse raus aber wie macht man das schriftlich? Vielleicht wird sowas auch nicht in der Klausur auftauchen und ich mach mir umsonst Gedanken Big Laugh

Big Laugh

26.02.2015, 22:54

riwe

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RE: Wie ohne Taschnerechner den Logarithmus berechnen?
wie eh oben steht: diese Werte weiß ich noch aus meiner Schulzeit AUSWENDIG.
da führt "im normalen Leben" kein Weg am Taschenrechner vorbei Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2015, 13:11

JonDoe

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RE: Wie ohne Taschnerechner den Logarithmus berechnen?

Zitat:

Original von riwe
wie eh oben steht: diese Werte weiß ich noch aus meiner Schulzeit AUSWENDIG.
da führt "im normalen Leben" kein Weg am Taschenrechner vorbei Augenzwinkern

Augenzwinkern

WAAAAS?

geschockt

Jetzt vereppeln Sie mich aber!

27.02.2015, 13:19

IfindU

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RE: Wie ohne Taschnerechner den Logarithmus berechnen?
In dem Fall könnte man auch
$\begin{eqnarray*} 2.3^3 = ( 2 + 0.3)^3 = 8 + 3 \cdot 4 \cdot 0.3 + \dots \approx 12 \approx 10 \end{eqnarray*}$ nutzen und damit
$\begin{eqnarray*} \log 2.3 = \frac 1 3 \log (2.3^3) \approx \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ .

Aber wirklich alles nicht so toll.

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27.02.2015, 13:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von JonDoe
Jetzt vereppeln Sie mich aber!

Tja, das kann sich die nun fast dritte TR-Generation schlicht nicht mehr vorstellen.

Von mir selbst kann ich nicht behaupten, die Logarithmen von 2..9 im Kopf zu haben - allenfalls $\begin{align*} \log(2)\approx 0.3 \end{align*}$ (und daraus dann abgeleitetes wie $\begin{align*} \log(4)\approx 0.6 \end{align*}$ , $\begin{align*} \log(8)\approx 0.9 \end{align*}$ und $\begin{align*} \log(5)\approx 0.7 \end{align*}$ ), und das basierend auf $\begin{align*} 2^{10}=1024\approx 1000 \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2015, 14:59

mYthos

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Eigentlich muss man lediglich den Logarithmus von 2 (= 0,30103), 3 (0,47712) und 7 (0,84510) kennen. Alle anderen (zwischen 4 und 10) ergeben sich daraus.
10 sowieso, dessen log ist ja 1, dann 5 = 10/2, also log 5 = 1 - 0,301018, 6 aus 2*3 (0,30103+0,47712), 8 aus 2^3 und 9 aus 3^2
Von 12, 14, 15, 16, 18, 20,... kann man die Logarithmen ebenso leicht berechnen.
Man sollte halt auch noch die Logarithmengesetze kennen Big Laugh

Big Laugh

Zu merken sind die Mantissen (der Teil nach dem Komma), die Charakteristik, also der ganzzahlige Teil des Logarithmus ist gleich der um 1 verminderten Anzahl der Stellen des Logarithmanden.

@JonDoe: Es heisst veräppeln

mY+

27.02.2015, 15:29

riwe

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@Peter: du bist halt auch (fast) mein Jahrgang Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.02.2015, 16:39

Mathema

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Zitat:

Tja, das kann sich die nun fast dritte TR-Generation schlicht nicht mehr vorstellen.

Für die meisten Schüler ist es wirklich kaum vorzustellen, dass früher solche Aufgaben gelöst wurden, ohne den Taschenrechner zu benutzen. Mit solchen Sätzen, wie Aufgabe 2 aus dieser alten Arbeit aus dem Jahre 1979 zeigt, können die wenigsten noch etwas anfangen. Big Laugh

Big Laugh

28.02.2015, 22:20

mYthos

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Hab' noch HÜ-Hefte meiner Schulzeit aus dem Jahre 1956, da war ich gerade mal 15 Jahre alt;
toll, was man da mit Logarithmen ausrechnen konnte!
N | L über der Tabelle heisst übrigens: Numerus | Logarithmus

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mY+

28.02.2015, 22:54

Guppi12

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Hut ab, dass du das noch auswendig weißt. Freude

Freude

Wir haben an der Schule auch 1 Jahr lang mit Logarithmenheften gerechnet und da konnte ich die üblichen Verdächtigen auch alle auswendig. Inzwischen aber nicht mehr und das ist ja etwas kürzer her Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2015, 23:59

Dopap

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und die Krönung des Rechnens mit Tafeln war erreicht, wenn man dort, wo eine senkrechte Wellenlinie die Werte begleitete , nicht linear sondern quadratisch interpolierte. Dazu gab es extra einen beigefügten Kartonstreifen. smile

smile

07.03.2015, 12:33

JonDoe

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RE: Wie ohne Taschnerechner den Logarithmus berechnen?
Ok, es gibt also eine Logarithmentafel für solche Fälle? Also auswendig zu können, glaub nicht dass es in der Klausur verlangt wird Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von IfindU
In dem Fall könnte man auch
$\begin{eqnarray*} 2.3^3 = ( 2 + 0.3)^3 = 8 + 3 \cdot 4 \cdot 0.3 + \dots \approx 12 \approx 10 \end{eqnarray*}$ nutzen und damit
$\begin{eqnarray*} \log 2.3 = \frac 1 3 \log (2.3^3) \approx \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ .

Aber wirklich alles nicht so toll.

Das kann ich ehrlich gesagt nicht ganz nachvollziehen geschockt

geschockt

Also 2²=4 und 2³=8. Das erklärt vielleicht die Zahlen, aber wieso jetzt hoch 3 und so? verwirrt

verwirrt

Und ergibt sich eigentlich auch das selbe Probelm für den logarithmus naturalis? Oder ist es da einfacher? smile

smile

07.03.2015, 12:50

IfindU

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RE: Wie ohne Taschnerechner den Logarithmus berechnen?
Meine Idee war: Wann ist $\begin{eqnarray*} 2.3^x \end{eqnarray*}$ nahe an einer Zehnerpotenz, sagen wir $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ . Für die ist es nämlich einfach den Log zu berechnen. Hat man so etwas, so ist
$\begin{eqnarray*} \log (2.3) = \frac 1 x \log (2.3^x) = \frac 1 x \log ( 10^n) = \frac n x \end{eqnarray*}$ .

Um 2.3^x auszurechnen, hab ich dann ausmultipliziert. Dass x > 2 sein muss, da $\begin{eqnarray*} 2.3^2 < 3^2 < 10 \end{eqnarray*}$ und für x = 3 wir die Schranke $\begin{eqnarray*} 2.3^3 > 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$ haben, dachte ich x = 3 ist eine gute Idee. Nun wollte ich nicht $\begin{eqnarray*} 2.3^3 \end{eqnarray*}$ exakt ausrechnen, weil das eh schon ungenau wird. Genauer ist $\begin{eqnarray*} 2.3^3 = (2 + 0.3)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 2^1 \cdot 0.3^2 + 0.3^3 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} 0.3^2 = 0.09 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0.3^3 = \frac {27} {1000} \end{eqnarray*}$ ist, sind die beiden letzten Zahl sehr klein im Vergleich zu den ersten. Statt auf die $\begin{eqnarray*} 8 + 3.6 = 11.6 \end{eqnarray*}$ der ersten beiden Terme zu kommen, kommt man auf $\begin{eqnarray*} 12.167 \end{eqnarray*}$ . Damit ist die Differenz ziemlich genau 0.5, schon sehr klein ist, insbesondere wenn man bedenkt, dass ichs danach zu "ungefähr 10" gerundet habe.

Dass der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \log 10, \log 11, \log 12 \end{eqnarray*}$ klein ist, sieht man dass $\begin{eqnarray*} \log 10 = 1 \end{eqnarray*}$ und bis man den Wert 2 bekommt, bis $\begin{eqnarray*} \log 100 = 2 \end{eqnarray*}$ laufen muss, so sollte $\begin{eqnarray*} \log 11 \approx \log 12 \approx 1 \end{eqnarray*}$ recht gut sein.

Und der natürliche Logarithmus.... es kommt drauf an wie gut du die Werte von e^x kennst Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.03.2015, 12:52

JonDoe

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Und ja das derzeitige Bildungssystem hat total versagt wenn es ums veranschaulichen der lg und ln geht, in der Schule konnte man das einfach in den Taschenrechner eintippen, man musste nur die Rechenregel für Logarithmengesetze können... also falls es eine Möglichkeit gibt log und ln einfach aus dem Stehgreif zu können, dann würd ich das liebend gern wissen, denn ich weiß nur wie man ln integriert oder differenziert Big Laugh

Big Laugh

07.03.2015, 13:20

JonDoe

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Also um nochmal auf log zurückzugreifen: Ich finde schon dass es da ein Trick gibt den ich einfahc noch nicht weiß.

$\begin{eqnarray*} log (0,001) = log(10&#8315;³) = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(0,2) = log(2*10&#8315;¹) = log 2 - 1 \end{eqnarray*}$
So und jetzt will ich Logarithmus von 2 wissen. Würden wir Logarithmentabelle bekommen, wäre das ganze viel einfacher, aber den muss man ja irgendwei ermitteln können oder? Big Laugh

Big Laugh

Weil paradoxer weise fällt es mir einfacher eher so "kompliziertere" Sachen zu berechnen wie zB bei mAuflösen hier:

$\begin{eqnarray*} log \frac{x}{2^{6}} = -2 <br /> \frac{x}{2^{6} } = 10^{-2} <br /> x = 2^{6} * 10^{-2} = 0,64 \end{eqnarray*}$

Wie ich bereits am Anfang erwähnte mit dekadischen Logarithmen kann ich so so umgehen LOL Hammer

LOL Hammer

EDIT: Sorry für den Dreifachpost aber ich bin recht langsam mit dem Editor

07.03.2015, 14:53

mYthos

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Zitat:

Original von JonDoe
...
$\begin{eqnarray*} log (0,001) = log(10&#8315;³) = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log(0,2) = log(2*10&#8315;¹) = log 2 - 1 \end{eqnarray*}$
...

Das stimmt beides nicht.

---------

EDIT: Oje, da hast du irgendwas reingepasted und das ist schief gegangen!

Sollte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \log (0,001) = \log (10^{-3}) = -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log(0,2) = \log(2*10 ^{-1}) = \log 2 - 1 \end{eqnarray*}$

und das stimmt wohl.

log 2 kannst du damit nicht berechnen. Den musst du wissen oder eben nachschlagen ...

Ganz grob: 2 ist etwa die 3. Wurzel aus 10, log 10 = 1, also ist log 2 ungefähr gleich 0,3, wie gesagt, nur grob eingegrenzt.

!! Besser noch geht's mit: $\begin{eqnarray*} 2^{10} = 1024 \end{eqnarray*}$ , so musst du nur den log von 1000 (=3) durch 10 dividieren, ergibt --> 0,30 , und das sogar ziemlich genau!

mY+

08.03.2015, 10:56

JonDoe

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Mist verdammt! Hab den PC von der Bibliothek benutzt und da schreibt man automatisch hochzahlen wenn man "^" drückt und so kam der Übertragungsfehler. WO anders kommt stattdesssen ein "?_"
echt bescheuert, sollte wohl des öfteren doppel-checken geschockt

geschockt

Ok, dann was das erstmal mi tden Logarithmen. Sowas wird dann in der KLausur eh nicht so arg kompliziert Augenzwinkern

Augenzwinkern

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