Vektorräume, Teilräume und deren Dimension |
| 27.02.2015, 01:06 | skulpt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Vektorräume, Teilräume und deren Dimension Sei V=C³, U={(z1, z2, z3) € V|z1-z2=z2)}, W={(z1, z2, z3) € V | z2=z1}. Zeigen sie, dass U und W Teilräume von V sind und bestimmen sie deren Dimension. Damit die Dinger Unterräume von einem Vektorraum sein können, müssens ja nichtleer sein, bezüglich Addition noch im Vektorraum liegen, und bezüglich Multiplikation mit einem Skalar auch noch im Vektorraum liegen. Darum geh ich so vor: nicht-leer: U: (z1, z2, z1-z2) ist nichtleer, da z.B. (1, 1, 0) passen würd. W: (z1, z2, x) (wobei x beliebig sein kann) ist nichtleer, da hier z.B. wieder (1, 1, 0) passen würd. Abgeschlossenheit bezüglich Addition: U: (z1, z2, z1-z2) + (z1, z2, z1-z2) = (z1+z1, z2+z2, z1-z2+z1-z2) (darf ich hier schon im übrigen sagen, das ganze wär 2(z1, z2, z1-z2), oder noch nicht, da es erst bei der Multiplikation mit Skalar bewiesen wird?) Beispiel: (5, -5, 0) + (8, 8, 0) = (13, -13, 0) W: (z1, z2, 0) + (z1, z2, 0) = (z1+z1, z2+z2, 0) (selbe Frage wie bei obigem) Beispiel: (5, 5, 0) + (9, 9, 0) = (14, 14, 0) Bezüglich Multiplikation: U: »(z1, z2, z1-z2)=(»z1, »z2, »(z1-z2)) Beispiel: 5*(3, 3, 0) = (15, 15, 0) W: »(z1, z2, 0) = (»z1, »z2, »0) Beispiel: Siehe oben Daher sinds auf den ersten Blick schon mal Vektorräume und daher auch Teilräume. Jetzt stellt sich mir die Frage wegen der Dimension. Die Dimension kommt ja von der Mächtigkeit der Basis. Die Basis ist eine Untermenge vom Vektorraum, die linear unabhängig ist und deren lineare Hülle gleich V ist. Doch wie komm ich jetzt auf die Basisvektoren? Raten? |
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| 27.02.2015, 03:03 | skulpt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es scheint außerdem, als wäre ich zu blöd, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Hier ist ein Beispiel bei mir ausm Lehrbuch, was nicht näher ausgeführt wird, aber mich wahnsinnig macht (Gauss'sches Verfahren mit den Spalteneliminationen/Determinanten wurden noch nicht erwähnt, deswegen muss das anders lösbar sein). Soll überprüfen, ob drei Vektoren linear unabhängig sind. a*(1, 3, 4)+b*(1, 2, 2)+c*(-1, 0, 2)=(0, 0, 0) Da bau ich ein Gleichungssystem auf: a+b-c=0 3a+2b=0 4a+2b+2c=0 aus 3a+2b: b=-(3/2)*a in a+b-c=0 oder 4a+2b+2c einsetzen: c=-(a/2) Damit hätt ich die Skalare über a ausgedrückt, wo wir dann sowas wie a=1, b=-1.5, c=-0.5 hätten, was da auch in die Lösung passt. Was würde z.B. jetzt in dem Fall passieren, wenn ich nicht jedes Skalar über a ausdrücken könnte, bzw. irgendwo darauf komm, dass die anderen Skalare gleich 0 sind? Ist das ganze dann linear unabhängig? |
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| 27.02.2015, 09:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ist zwar im Prinzip ok, aber ich würde an dieser Stelle immer den Nullvektor testen. Das ist zum einen einfacher und zum anderen kann man das Ding sofort knicken, wenn der Nullvektor nicht Element der betreffenden Menge ist.
Zum einen mußt du bei der Addition unterschiedliche Vektoren nehmen und nicht gleiche. Zum anderen nimmst du als 3. Komponente bei U den Ausdruck z1-z2 bzw. bei W die Null. In den Definitionen von U und W ist aber die 3. Komponente nicht festgelegt. Analog trifft das auch auf deinen Beweis für die Skalarmulitplikation zu.
Im Prinzip steckt in den Definitionen der Unterräume U und W das Lösen eines linearen Gleichungssystems, das in diesem Fall nur aus einer Gleichung besteht. Als Basis der Unterräume U und W kannst du also die Basis des Kerns der GLS nehmen. 
Wenn a=b=c=0 als einzige Lösung herauskommt, dann (und nur dann) sind die Vektoren linear unabhängig. Im übrigen ist es einfacher, die Vektoren zeilenweise in eine Matrix zu schreiben und diese auf Zeilenstufenform zu bringen. Entsteht dabei eine Nullzeile, dann sind die Vektoren linear abhängig. 
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| 27.02.2015, 11:59 | skulpt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hab mich bei der Angabe auch verschrieben gehabt. U={(z1, z2, z3) € V|z1-z2=z2)} soll U={(z1, z2, z3) € V|z1-z2=z3)} sein. Wär dann, wenn ich die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition zeigen wollte, folgendes korrekt? (z11, z21, z11-z21) + (z12, z22, z12-z22) = ((z11+z12), (z21+z22), ((z11-z21)+(z12-z22))) = ((z11+z12), (z21+z22), ((z11+z12)-(z21+z22))) Bezüglich der Basis bin ich immer noch verwirrt. Ich kenn die Bestimmung eines Kerns nur zusammen mit einer Matrix, deswegen würd ich das ganze ja in eine Matrizenform bringen. Was dann (z1, z2, z1-z2) wäre. Die müsst ich dann 0 setzen, um zu Ergebnissen zu kommen. Dann hätt ich aber z1=0 z2=0 z1-z2=0 Was wohl nicht stimmen kann, oder? |
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| 27.02.2015, 12:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, wobei ich bei den vielen Indizes Sternchen vor den Augen bekomme. Man darf auch weitere Buchstaben verwenden.
Nun ja, ein lineares GLS wird durch eine Matrix repräsentiert und umgekehrt. Die einzig relevante Gleichung, die bei der Menge U zu erfüllen ist, lautet: z1-z2=z3 Das kann man jetzt als GLS auffassen und dazu den Kern bestimmen.
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| 27.02.2015, 12:17 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es wäre übrigens hilfreich, wenn du die Vektoren mit Buchstaben bezeichnest. Beispielsweise . Damit wird das Ganze übersichtlicher und leichter zu lesen. Also: usw. Edit: @klarsoweit Bin dann wieder weg. |
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| 27.02.2015, 14:00 | skulpt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich steh vielleicht grad komplett auf dem Schlauch. Aber wie fasse ich das als Gleichungssystem auf, wenn es nur eine Gleichung gibt? Ich komm da grad einfach nicht drauf. |
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| 27.02.2015, 14:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn's hilft, können wir auch noch ein GLS draus machen: z1-z2-z3 = 0 0*z1 + 0*z2 + 0*z3 = 0 Entscheidend ist, daß man den Gauß-Algorithmus beherrscht, der einem auch verrät, wie man zu der allgemeinen Lösung eines linearen GLS kommt. |
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| 27.02.2015, 15:00 | skulpt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da ich hier ja eine Nullzeile habe, die nicht im Widerspruch zu den anderen Gleichungen steht, kann ich doch annehmen, es gibt unendlich viele Lösungen, oder? Funktioniert das ganze dann so? z3=z1-z2 Setze z1=s, z2=t z3=s-t Lösung: (z1, z2, z3)=s*(1, 0 , 1)-t*(0, 1, 1) -> 2 linear unabhängige Vektoren => |B|=2 -> dim(U)=2 |
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| 27.02.2015, 15:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Fast richtig. Laut deiner Lösung müßte (0, 1, 1) eine Lösung sein, was aber nicht stimmt. (Kann man leicht durch Einsetzen prüfen.
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| 27.02.2015, 15:11 | skulpt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Gut, seh schon, ich habe das Minus aus z3 vor das t gezogen. Also wärs dann: (z1, z2, z3)=s*(1, 0 , 1)+t*(0, 1, -1) Oder seh ich das falsch? |
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| 27.02.2015, 16:37 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So paßt es. 
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