Frage zu inversen Matrizen und Determinanten

27.02.2015, 17:46	skulpt	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu inversen Matrizen und Determinanten Hi, ich hab in meinem Buch folgende Definition stehen: "Sei A element K^(nxn) und bezeichne Â=(Aij) element K^(nxn) die Matrix der Kofaktoren von A. dann gilt: AÂ^T=det(A)In Insbesondere gilt für reguläre Matrizen A element K^(nxn) A^-1=(1/detA)Â^T=(Aji/detA)" Jetzt stellt sich mir folgende Frage: Der Kofaktor ist doch die Determinante jener Matrix, die dadurch erzeugt wird, dass man bei einer Matrix an der Spalte (und auch Zeile?) diese durch das j-te Element der kanonischen Basis ersetzt. Im Buch hab ich z.B. so ein Beispiel: (variablen sind eigentlich z.B. in der ersten Zeile a11...a1,j-1; 0; a1,j+1...a1n - wollts nur nicht ausschreiben) $\begin{eqnarray} A_{ij}= \begin{vmatrix} A & B & 0 & C & D\\ E & F & 0 & G & H \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ I & J & 0 & K & L \\ M & N & 0 & O & P \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Kann ich daher annehmen, dass Aji die dazu inverse Matrix desselben Typs sein sollt? Denn ich verstehe dann das gegebene Beispiel nicht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} } \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Erstens: wie komme ich überhaupt auf eine Matrix von Kofaktoren? Wäre das hier die Matrix des Kofaktors für $\begin{eqnarray} a_{11} \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a_{22} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Falls ja, wäre die Determinante, wenn ich sie nach Sarrus rausfinden will, ja $\begin{eqnarray} a_{22} \end{eqnarray}$ . Kommt auch an die 1-1-Position, würde also passen. Was ich gern wissen würde ist: wozu wird das ganze nochmal extra erwähnt? Wir hatten nämlich schon die Methode, eine Matrix zu invertieren, indem man elementare Spalten- oder Zeilenumformungen zusammen mit der Einheitsmatrix durchführt (wobei ich dabei auch noch mal eine Frage hab: sollte man sich auf Zeilen- oder Spaltenumformungen festlegen, oder kann man beide zusammen bei einem Beispiel benutzen?). Die Determinante für alle möglichen Kombinationen auszurechnen scheint mir dann doch etwas umständlich zu sein. Edit by IfindU: Mehrere Subindizes müssen geklammert werden. Bei A_1_1 weiss LaTeX nicht, ob es $\begin{eqnarray} A_{11} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} A_{1_1} \end{eqnarray*}$ heissen soll.
27.02.2015, 18:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist immer gut, tausend Verfahren zu kennen und nicht nur eines. Das ergibt zusätzliches , manchmal nützliches Wissen. Die Standardmethode ist meistens einfacher bei der Berechnung der Inversen. Die hier dargestellte Methode mittels der Adjunkten ist eher theoretisch interessant. Bei der Berechnung der Determinanten der der Adjunkten hast du die wechselnden Vorzeichen vergessen, deshalb funktioniert das Beispiel der 2x2-Matrix nicht. In diesem einfachen Beispiel sieht man, dass diese Methode die inverse Matrix sofort angibt, ohne dass man viel rechnen muss.

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