Differentialgleichung 1.Ordnung

27.02.2015, 20:37

Bmax

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Differentialgleichung 1.Ordnung

Hey Leute,

Ich habe mal wieder ein Problem. Aber diese mal ein riesen Problem.

Die Augabe:
Bestimmen Sie die Kurve, die durch den Punkt P(-a, a) geht, wenn der durch die Schnittpunkte
A und B mit den Koordinatenachsen begrenzte Abschnitt einer beliebigen Kurventangente
vom jeweiligen Berührungspunkte M halbiert wird.

Also ich habe echt keine Ahnung wie ich hier Anfangen soll.
Es wäre nur schön wenn mir jemand erklären könnte wie ich hier vorzugehen habe.

Danke und liebe Grüße

Max

28.02.2015, 10:19

Huggy

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RE: Differentialgleichung 1.Ordnung
Gehe ganz systematisch vor. Es sei $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ die gesuchte Kurve und $\begin{eqnarray*} M=(x, y(x)) \end{eqnarray*}$ der Berührpunkt einer Tangente an die Kurve.

(1) Bestimme die Gleichung der Tangente durch M. Damit es kein Tohuwabohu gibt, sollte man die Punkte der Tangente nicht mit $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ bezeichnen, sondern anders, z. B. $\begin{eqnarray*} (x_t, y_t) \end{eqnarray*}$

(2) Bestimme die Schnittpunkte A und B der Tangente mit den Koordinatenachsen.

(3) Bestimme die Länge der Strecken $\begin{eqnarray*} \overline {MA} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline {MB} \end{eqnarray*}$ oder deren Quadrat.

(4) Setze die beiden Längen bzw. deren Quadrate gleich. Das ergibt die Differentialgleichung der Kurve.

(5) Löse die DGL. Passe die freie Konstante der Lösung so an, dass die Lösung durch den Punkt P geht.

01.03.2015, 19:07

Bmax

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Tut mir leid konnte das Wochenende nicht Antworten.

Erstmal danke für deine Hilfe.
Da ich so eine Aufgabe zum ersten mal rechne, werde ich mich sicherlich sehr schwer tun.

Also ich probier mich mal.

Die Gleichung der Tangente am Punkt M sollte ja wie folgt aussehen.

$\begin{eqnarray*} y=f'(x_{t})*(x-x_{t})+y_{t} \end{eqnarray*}$

Dann einmal der Schnittpunkt für die x- Achse.(y=0)

$\begin{eqnarray*} 0=f'(x_{t})*(x-x_{t})+y_{t} \end{eqnarray*}$

Und Schnittpunkt mit der y-Achse.(x=0)

$\begin{eqnarray*} y=f'(x_{t})*(0-x_{t})+y_{t} \end{eqnarray*}$

So jetzt erstmal die Frage,ob die Schnittpunkte richtig formuliert sind.

Danke und Grüße

Max

01.03.2015, 19:37

Huggy

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Das ist fast richtig.
Bringen wir zunächst Ordnung in die Bezeichnungen. Wenn $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ die gesuchte Kurve sein soll, dann sollte man für die Ableitung auch $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ schreiben. Und wenn der Berührpunkt $\begin{eqnarray*} M=(x, y(x)) \end{eqnarray*}$ sein soll, dann ist die Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu nehmen, nicht an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ . Die Tangentengleichung würde dann lauten:

$\begin{eqnarray*} y=y'(x)(x-x_t)+y_t \end{eqnarray*}$

oder kurz

$\begin{eqnarray*} y=y'(x-x_t)+y_t \end{eqnarray*}$

Natürlich kann man statt $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ verwenden, dann aber konsequent für die Funktion und für die Ableitung. Mit meinen Bezeichnungen ist außerdem $\begin{eqnarray*} (x_t, y_t) \end{eqnarray*}$ ein allgemeiner Punkt auf der Tangente. Um die Achsenschnittpunkte zu finden, ist dann $\begin{eqnarray*} x_t=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_t=0 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Du hast $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_t,y_t) \end{eqnarray*}$ genau anders herum verwendet.

01.03.2015, 19:55

Bmax

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das mit dem f(x) stimmt, dass hätte ich gleich so schreiben können.

Achso ich habe das falsch verstanden. Ich dachte ich muss x bzw. y=0 setzen.
Also ist jetzt der Schnittpunkt x-Achse

$\begin{eqnarray*} y=y'(x-x_{t})+0 \Rightarrow y=y'(x-x_{t}) \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt y-Achse

$\begin{eqnarray*} y=y'(x-0)+y_{t} \Rightarrow y=y'x+y_{t} \end{eqnarray*}$

So sollte das jetzt richtig sein oder?

01.03.2015, 20:08

Huggy

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Das ist jetzt richtig. Allerdings sind diese Gleichungen nach $\begin{eqnarray*} x_t \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y_t \end{eqnarray*}$ aufzulösen, um die Schnittpunkte mit den Achsen explizit zu bekommen. Bedenke, bei meinen Bezeichnungen ist $\begin{eqnarray*} M=(x,y(x)) \end{eqnarray*}$ der Berührpunkt der Tangente, den wir im Moment noch fest halten.

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01.03.2015, 20:12

Bmax

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Ok super hab ich ja schon ein Stückchen geschafft. Ich werde Morgen schauen wie ich das nächste hin bekomme und mich dann wieder melden. smile

smile

Dankeschön.

03.03.2015, 10:09

Bmax

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Also die Länge der Strecken berechne ich ja wie folgt.

Strecke Mit Schnitt der x-Axhse.

$\begin{eqnarray*} d^2=(x_{t}-x)^2+(y_{t}-y)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{t} \end{eqnarray*}$ ist bei dieser Strecke ja immer 0.

$\begin{eqnarray*} d^2=(x_{t}-x)^2+y^2 \end{eqnarray*}$

Strecke mit Schnitt der y-Achse

Hier genauso, nur das hier $\begin{eqnarray*} x_{t} \end{eqnarray*}$ 0 ist.

$\begin{eqnarray*} d^2=x^2+(y_{t}-y)^2 \end{eqnarray*}$

Die setz ich jetzt gleich und hau meine Gleichung für die Schnittpunkte rein.
Ist das so richtig?

03.03.2015, 11:25

Huggy

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Richtig.
Leicht übersichtlicher wird die Rechnung, wenn du erst die Schnittpunkte einsetzt, vereinfachst und dann die Strecken gleichsetzt.

03.03.2015, 12:26

Bmax

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Ok habe es jetzt umgestellt, eingesetzt und vereinfacht.

$\begin{eqnarray*} d^2=(-\frac{y}{y'})^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d^2=x^2-(-y'x)^2 \end{eqnarray*}$

Dann Gleichgesetzt.

$\begin{eqnarray*} (-\frac{y}{y'})^2+y^2 =x^2-(-y'x)^2 \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt meine fertige DGL die ich lösen muss?

03.03.2015, 12:55

Huggy

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Fast richtig!
Das zweite $\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ enthält noch einen Vorzeichenfehler.

Nach Korrektur lässt sich die DGL noch deutlich vereinfachen. Das solltest du tun, bevor du ans Lösen gehst.

03.03.2015, 13:33

Bmax

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Oh ja ich hab da was verwechselt.

Also ich könnte jetzt die wurzel ziehen, dann komme ich auf.

$\begin{eqnarray*} -\frac{y}{y'}+y=x+y'x \end{eqnarray*}$

Und wenn ich jetzt nach y' umstelle komme ich auf

$\begin{eqnarray*} y'=-2\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

Richtig? verwirrt

verwirrt

03.03.2015, 14:10

Bmax

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Ne Quatsch das ist Falsch.

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} y'^2=-\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

03.03.2015, 14:24

HAL 9000

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Ehrlich gesagt versteh ich die Überkompliziertheit der ganzen Rechnung nicht:

Wenn $\begin{align*} A(a,0) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} B(0,b) \end{align*}$ die Schnittpunkte mit den Achsen sind, dann ist deren Mittelpunkt $\begin{align*} M\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2}\right) \end{align*}$ ja der Kurvenpunkt und die Tangente hat dort die Steigung $\begin{align*} -\frac{b}{a} \end{align*}$ .

Umgemünzt auf $\begin{align*} M(x,y(x)) \end{align*}$ bedeutet dies $\begin{align*} a=2x,b=2y(x) \end{align*}$ sowie dann $\begin{align*} y'=-\frac{y}{x} \end{align*}$ .

03.03.2015, 15:02

Huggy

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@Bmax
Überprüfe deine Rechnung noch mal sorgfältig. Bei korrekter Rechnug sollte sich ergeben:

$\begin{eqnarray*} y'^2=\frac {y^2}{x^2} \end{eqnarray*}$

Wenn du dann die Wurzel ziehst, beachte, dass es 2 Lösungen gibt.

@HAL
Klar, dein Ansatz führt viel einfacher zum Ziel. Nur kommt man ja nicht immer zuerst auf den einfachsten Lösungsweg. Das Dilemma bei den eleganten Lösungen, die man meist auch in Büchern findet, ist, dass der Leser sich oft sagt, darauf wäre ich nie gekommen. Er übersieht dabei, dass auch ein anderer, im ersten Moment naheliegender Weg, durchaus zum Ziel führen kann, wenn auch umständlicher.

Das sollte einen natürlich nicht abhalten, bevor man wild zu rechnen beginnt, nach verschiedenen Lösungsideen zu suchen.

Bei deinem Ansatz muss man noch den Sonderfall $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ betrachten.

03.03.2015, 15:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Bei deinem Ansatz muss man noch den Sonderfall $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ betrachten.

Selbstredend - ich seh jetzt allerdings nicht, dass im anderen Weg der Fall gebührend berücksichtigt wurde, wo die Tangente durch den Ursprung geht.

Übrigend war es ungeschickt von mir, da oben $\begin{align*} A(a,0) \end{align*}$ zu bezeichnen, da Parameter $\begin{align*} a \end{align*}$ in der Aufgabenstellung schon besetzt ist - Entschuldigung.

03.03.2015, 15:46

Bmax

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Ok hab es jetzt. smile

smile

Nur meine Frage, muss ich jetzt beide Lösungen beachten?

Wenn ich jetzt die die Gleichung $\begin{eqnarray*} y'=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ löse, komme ich auf
$\begin{eqnarray*} y=C*x \end{eqnarray*}$

So und nach dem einsetzen des Punktes P(-a,a) komme ich auf C=-1.

03.03.2015, 16:16

Huggy

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Zitat:

Original von Bmax
Nur meine Frage, muss ich jetzt beide Lösungen beachten?

Natürlich sollte man beide Lösungen beachten. Die eine ergibt eine Gerade durch den Ursprung, die andere eine Hyperbel. Das sollte auch die letzte Anmerkung von HAL beantworten.

Ob der Aufgabensteller an beide Lösungen gedacht hat, weiß ich natürlich nicht.

03.03.2015, 16:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Die eine ergibt eine Gerade durch den Ursprung

... die keine Lösung ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.03.2015, 16:27

Huggy

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Weshalb nicht?
Die Tangenten an die Gerade sind mit der Geraden identisch. Die Schnittpunkte A und B mit den Achsen sind identisch gleich $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ . Damit sind die Strecken $\begin{eqnarray*} \overline {AM} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline {BM} \end{eqnarray*}$ gleich lang.

03.03.2015, 16:28

HAL 9000

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Nehmen wir doch $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ und damit den Punkt $\begin{align*} P(-1,1) \end{align*}$ :

Ja, $\begin{align*} P \end{align*}$ liegt auf der Geraden $\begin{align*} y=-x \end{align*}$ . Diese Gerade schneidet nun - wie alle Ursprungsgeraden - die beiden Koordinatenachsen in einem gemeinsamen Punkt, den Ursprung. Der Mittelpunkt der Strecke durch diese beiden gemeinsamen Punkte ist auch wieder der Ursprung. Laut Aufgabenstellung soll dies aber $\begin{align*} P \end{align*}$ sein - oder hab ich jetzt was falsch verstanden? verwirrt

verwirrt

03.03.2015, 16:32

Huggy

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Du hast Recht!
In der Aufgabenstellung steht Halbierung und nicht gleich lang.

03.03.2015, 17:48

Bmax

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also ist die richtige Lösung $\begin{eqnarray*} y=\frac{C}{x} \end{eqnarray*}$

Für C bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} -a^2 \end{eqnarray*}$

Also ist meine Kurve $\begin{eqnarray*} y=\frac{-a^2}{x} \end{eqnarray*}$ ?

03.03.2015, 18:01

HAL 9000

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Ja.

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