Integral 1/1+cos(x) dx

28.02.2015, 11:12	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral 1/1+cos(x) dx Meine Frage: Hallihallo Momentan bereitet mir ein Integral ziemlich großes Kopfzerbrechen: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{dx}{1+cos(x)} \end{eqnarray}$ und ich weiß nicht so recht, wie ich es anpacken soll. Meine Ideen: Bisher sind die zündenden Ideen leider ausgeblieben. Meine Lösung zum Integral soll einfach $\begin{eqnarray} I=tan(\frac{x}{2})+c \end{eqnarray}$ lauten. Ich habe meine Formelsammlung durchkämmt und eine Substitution für cos(x) gefunden, die lautet $\begin{eqnarray} cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2},\,\,\,\, t=tan(\frac{x}{2}) \end{eqnarray}$ . Vielleicht könnte mich diese Formel ja weiterbringen, immerhin enthält sie ja auch den Tangens...allerdings komme ich auch nicht weiter, wenn ich diese Substitution einfach stupide für den Kosinus einsetze... Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
28.02.2015, 11:25	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest deinen Bruch ja mal mit $\begin{eqnarray} 1-\cos(x) \end{eqnarray}$ erweitern. Vielleicht hilft dir das ja, eine geeignete Stammfunktion zu finden.
28.02.2015, 11:27	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral 1/1+cos(x) dx Das Integral kannst Du mit der Weierstraß Substitution lösen Du mußt dabei cos(x) und dx erstzen.->siehe Link http://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution
28.02.2015, 11:32	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral 1/1+cos(x) dx viel einfacher wäre $\begin{eqnarray} 1+cosx=2cos^2\frac{x}{2} \end{eqnarray}$ was auf ein Stammintegral führt, glaube ich
28.02.2015, 11:55	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Puuh, vielen Dank für die vielen Tipps! Also ich habe es soeben über alle drei Methoden versucht (man kann ja nicht firm genug werden ) und bei Methode 1 bin ich mir nicht ganz schlüssig, ob ich alles korrekt gemacht habe, allerdings bin ich irgendwann bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{sin^2(x)} = csc^2(x) \end{eqnarray}$ gelandet und habe mich dann nicht mehr weitergetraut zu rechnen... Ich bin nicht sicher, ob ich da nicht in weit entfernte Sphären abgedriftet bin mit meiner Rechnerei, die mich nie zum Ende führt. Bei Methode 2 bin ich sofort auf meinen Tangens gekommen. Total klasse diese Art der Substitution! Und Methode 3 beruht auf einem Additionstheorem? Ich habe meine gesamte Formelsammlung durchblättert, aber $\begin{eqnarray} 1+cos(x)=2cos^2(\frac{x}{2}) \end{eqnarray}$ nicht gefunden. Oder habe ich dabei etwas anderes Wichtiges übersehen? Vielen, vielen Dank nochmals an alle!
28.02.2015, 12:01	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1 \end{eqnarray}$ solltest du aber schon finden
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28.02.2015, 12:05	DrHWI	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaaah! Natürlich! Jetzt ging mir das Licht auf! Dankeschön! Nochmals!
28.02.2015, 12:06	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann äußere ich mich noch mal zu Methode 1: Das ist richtig. Du erhältst: $\begin{eqnarray} \int \! \csc^2(x) \dx - \int \! \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\cot(x)- \int \! \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} \dx \end{eqnarray}$ Das Integral ist nun über eine einfache Substitution $\begin{eqnarray} u=\sin(x) \end{eqnarray}$ zu lösen.

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