Basis bei Polynomen - Seite 2

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goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich bin leicht verwirrt. Warum nehmen wir denn nur die Basis von pn''(x) ? also { (x-1)^2, (x-1) }

Und warum zeigen wir dass e = 0 etc. ist ?

Also, warum reicht diese Basis? Ist die denn nicht nur für pn''(x) gültig?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

pn''(x) hat keine Basis. Vektorräume haben eine Basis, und pn ist ein Element des Vektorraums und lässt sich somit eindeutig als Linearkombination dieser Basis darstellen.

Das Ergebnis ist, dass alle Polynome in U die Form haben (c,d,e sind alle 0) und somit eine Basis von U bilden.
 
 
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das jetzt fast verstanden. Eine Sache finde ich noch seltsam. Warum wissen wir denn dass das eine Basis ist? Ich kann mir schon denken warum. Wir haben durch die vorherigen Schritte herausgefunden dass pn(x) = a(x-1)^4 + b(x-1)^3 ist und somitwird pn(x) durch {(x-1)^4, (x-1)^3} erzeugt wird. Aber warum ist das denn linear unabhängig? Müssten wir das nicht noch irgendwie beweisen? Also, anscheinend ja nicht, sonst hättest du das ja gemacht, aber warum müssen wir das nicht beweisen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge ist linear unabhängig -- wenn dir das nicht klar, kannst du das z.B. über einen Widerspruchbeweis zeigen. Alternativ kann man das natürlich auch direkt per Hand zeigen, dass die beiden Elemente nicht linear abhängig sind.

Und es ist gut, dass du dir solche Fragen stellst Freude
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ok. das habe ich nicht mehr berücksichtigt. danke.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eigentlich auch eine andere herangehensweise die Basis herauszufinden? Jetzt haben wir das ja quasi einfach gesehen. aber was ist denn wenn man darauf einfach nicht kommt. Gibt es da ein "Schema" das man anwenden kann?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm dir eine Basis des großen Raumes, stelle ein Element des großen Raumes durch eine Linearkombination der Basis dar und schaue wie es sich verhält, wenn man Bedingungen des Unterraums drauf stellt.

Mit der Standardbasis des Polynomraums kamen wir dann auf das recht unschöne Gleichungssystem, was du gelöst hattest. Mit Übung und Erfahrung sieht man dann hoffentlich, dass unsere neue Basis deutlich besser dafür geeignet ist und das Gleichungssystem, was wir ebenso erhalten, deutlich leichter zu handhaben.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre denn zum Beispiel wenn ich pn(1) = pn'(1) = pn''(1) hätte?

Ich hab mir das so gedacht: Ersteinmal hab ich die Polynome aufgeschrieben:

pn(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e
pn'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
pn''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c

das erste was mir aufgefallen ist, ist dass {x^4, x^3} nicht teil der Basis sein können, dasonst die Gleichung nicht erfüllt ist.

pn(x) = cx^2 + dx + e
pn'(x) = 3bx^2 + 2cx + d
pn''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c

jetzt habe ich ein Problem mit den Konstanten. Ich überlege ja grad, wie die x^2 und x aussehen müssen (so wie wir das davor gemacht haben mit (x-1)). Ist das soweit richtig?

Ich wüsste jetzt aber schon nicht mehr wie die basis aussehen muss, damit ich auch die Konstanten irgendwie bekomme. Im Prinzip müssten ja c = 3b = 12a und d = 2c = 6b und 3 = d = 2c erfüllt sein, oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Basis des Unterraums zu sehen ist alles andere als trivial. Auch hier böte sich allerdings die andere Basis von P_4 an.

Und natürlich erfüllen x^4 und x^3 nicht die Voraussetzung. Aber deswegen darfst du sie nicht streichen! Dafür müsstest du argumentieren, dass nicht nur beide es nicht erfüllen, sondern auch jede mögliche Kombination der beiden mit der restlichen Basis es nicht erfüllen. So ist tatsächlich der Raum größer als unser alter, d.h. ist definit in der Basis, d.h. ein Polynom vom Grad 4.

Und du willst ja nicht, (was p = 0 impliziert), du willst .

D.h. du musst erst fleißig überall 1 einsetzen. Aber natürlich in der ersten Form deiner pn, nicht in der falsch-reduzierten.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab das mal versucht mit nem LGS zu lösen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass mein Professor das so will, weil da ja über mehrere Seiten geht.

Ja, ich spiel auch schon die ganze zeit hiermit rum:

pn(x) = a + b + c + d + e
pn'(x) = 4a + 3b + 2c + d
pn''(x) = 12a + 6b + 2c

Wenn ich dann für pn(x) andere/kürzere Schreibweisen finden will, indem ich eine andere Darstellung von zb. a,b,c finde, hab ich so abschreckende Brüche. Das kann doch auch nicht das Wahre sein, oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits im letzten Post gesagt: Die Basis mit 1-x statt x zu nehmen vereinfacht auch hier wieder ziemlich viel.

Alternativ dazu: Offenbar enthält der Teilraum das alte U als Teilraum. D.h. man könnte versuchen die alte Basis von U zu einer neuen fortzusetzen. Also könnte man eine weitere Lösung von raten und zur Basis von U hinzunehmen. Dann muss man natürlich noch zeigen, dass es eine Basis ist.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schlussfolgerung, wenn wir unsere Basis aus der ersten Aufgabe nehmen ist dann, dass e = d = 2c. Ich hab gar keine ahnung was ich jetzt damit machen soll x.x
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Such dir davon deinen Lieblingsbuchstaben aus und setze es in p ein. Wenn du dann die sklaren Faktoren ausklammerst, siehst du die nötigen Basiselemente.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also

pn(x) = a(x-1)^4 + b(x-1)^3 + 1/2e(x-1)^2 + ex + e
= a(x-1)^4 + b(x-1)^3 + e(1/2*(x-1)^2 + x +1)

Also ist die Basis: { (x-1)^4, (x-1)^3, 1/2*(x-1)^2 + x + 1}

Wahrscheinlich nicht, ne? Big Laugh
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ist richtig Freude
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt geschockt geschockt Waaaaaas? Das muss ich erstmal sacken lassen. Also der eigentliche Trick ist, dass man eine "gute" Basis nimmt. Bzw. wenn man das so macht, dann hat man es um einiges leichter.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Du kannst dir ja mal überlegen, welche Basis "sinnvoll" ist, wenn du statt immer an der 1 auszuwerten, an pi auswertest, d.h. p(pi) = 0 usw.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich geh dann mal schlafen und fang morgen früh direkt wieder an Big Laugh . Danke nochmal!
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