Fourierreihe- Parsevalsche Gleichung

28.02.2015, 12:59

orso7

Fourierreihe- Parsevalsche Gleichung

Ich hänge etwas bei einem alten Prüfungsbeispiel, Punkt a ist noch kein Problem aber bei b kenne ich mich nicht so recht aus.

Angabe ist wie folgt:

Auf dem Intervall [-1,1] sei folgende Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} h(x)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -1\leq x<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen sie die Fourierkoeffizienten von h und geben sie die Fourierreihe von h an.
Hier komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} H(x)=2+\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{-2}{\pi } *\frac{(-1)^{k}-1 }{k} *sin(k\pi x) \end{eqnarray*}$

b) Verwenden sie die Parsevalsche Gleichung zur Bestimmung von

$\begin{eqnarray*} \frac{a_{0}^{2} }{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty } (a_{k}^{2}+b_{k}^{2}) \end{eqnarray*}$

Welcher Wert ergibt sich daher für die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{(2k-1)^{2} } = 1+\frac{1}{9} +\frac{1}{25} +..... \end{eqnarray*}$

Was ist hier zu tun? ich nehme an das a) und b) unabhängig von einander sind aber ich habe keine Ahnung wie man aus der parsevalschen Gleichung die obere Gleichung herleiten soll.

01.03.2015, 13:26

10001000Nick1

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RE: Fourierreihe- Parsevalsche Gleichung
Guck mal hier. Damit kannst du die Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{a_{0}^{2} }{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty } (a_{k}^{2}+b_{k}^{2}) \end{eqnarray*}$ berechnen, und mit ein paar Umformungen kommst du dann auch auf den Wert der anderen Reihe.

Zitat:

Original von orso7
ich nehme an das a) und b) unabhängig von einander sind

Wieso? In b) brauchst du doch die Koeffizienten, die du in a) berechnet hast.

02.03.2015, 09:35

orso7

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Den Wikipediaeintrag habe ich mir schon angeschaut aber hier wird auch nicht wirklich gezeigt wie man von er Parsevalschen Gleichung auf die o.g. kommt.

mir ist hier wirklich schleierhaft wie ich von den Koeffizienten meiner ersten Fourirerreihe auf den Wert einer ganz anderen Reihe kommen soll, leider wird es auch in meinem Skriptum nicht erklärt (ist allerdings bei alten Prüfungen drangekommen)

02.03.2015, 12:23

10001000Nick1

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Zitat:

Original von orso7
Den Wikipediaeintrag habe ich mir schon angeschaut aber hier wird auch nicht wirklich gezeigt wie man von er Parsevalschen Gleichung auf die o.g. kommt.

Erwartest du eine komplette Herleitung der Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2) \end{eqnarray*}$ , oder was? unglücklich

Das solltest du schon selbst machen. Es steht aber auch alles da, was du brauchst.

Du gehst von der Gleichung $\begin{eqnarray*} \langle f,f\rangle=\sum_{s\in S}|\langle f,s\rangle|^2 \end{eqnarray*}$ aus und benutzt das Skalarprodukt und das Orthonormalsystem, das du in dem Link findest.
Auf der linken Seite erhält man dann $\begin{eqnarray*} \langle f,f\rangle=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)f(x)\;dx =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\;dx \end{eqnarray*}$ .

Auf der rechten Seite berechnen wir $\begin{eqnarray*} \langle f,s\rangle \end{eqnarray*}$ für jede Funktion $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ in dem Orthonormalsystem.
Für $\begin{eqnarray*} s\equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ würde man auf $\begin{eqnarray*} \langle f,s\rangle=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\;dx=\frac{1}{\sqrt{2}}a_0 \end{eqnarray*}$ kommen. Da wir in der Parsevalschen Gleichung die Skalarprodukte quadrieren müssen, erhalten wir als ersten Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{a_0^2}{2} \end{eqnarray*}$ .
Die anderen Skalarprodukte kannst du mal selbst probieren.

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