Endomorphismus: Surjektiv/Injektiv |
| 28.02.2015, 13:53 | Rynos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Endomorphismus: Surjektiv/Injektiv eigentlich etwas ganz einfaches: Warum für einen (endlich erzeugten) Endo gilt, ist mir mittlerweile klar (trivialer Kern). Jedoch würde ich gern wissen ob das denn auch anders herum gilt (), bzw. hab ich dazu nicht wirklich was gefunden, was dafür spricht, dass dem nicht so ist, nur warum? Kann mir das jemand vlt möglichst anschaulich erklären (am besten mit einem einfachen Gegenbeispiel)? |
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| 28.02.2015, 23:35 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Endomorphismus: Surjektiv/Injektiv
Vermutlich geht es hier um Endomorphismen von endlich erzeugten Vektorräumen. Richtig?
Das ist nun aber kein Beweis...
Ja, ein Endomorphismus eines endlich erzeugten Vektorraumes ist genau dann injektiv, falls er surjektiv ist.
Dass ein Endomorphismus surjektiv ist, bedeutet, dass die Dimension seines Bildes gleich der Dimension des gesamten Raumes ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn durch die Abbildung "keine Dimension verloren geht", wenn also kein Vektor (außer Null) im Kern verschwindet. Das wiederum bedeutet Injektivität.
Das ist glücklicherweise nicht möglich 
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| 01.03.2015, 16:58 | Rynos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Endomorphismus: Surjektiv/Injektiv die bemerkung "trivialer kern war auch nicht als beweis gemeint
aber egal, jedenfalls danke für die kurze und präzise erklärung, jetzt weiß ich wo der fehler in meinem kopf war^^ |
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