Euler-Verfahren

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balance Auf diesen Beitrag antworten »
Euler-Verfahren
Hallo,

Kann mir jemand helfen, das explizite sowie das implizite Eulerverfahren zu verstehen?

Wie ich es jetzt gerade sehe:

Explizites Eulerverfahren:
Ich habe eine ODE und einen Anfangswert, ich habe also eine Funktion die eine exakte Lösung darstellt. Diese Lösung gilt es nun per EU zu finden. Wir nutzen hier EU weil wir es nur numerisch lösen können oder weil es viel einfacher ist.
1. Wir bringen unsere ODE in die Form wobei f nun also die Ableitung der exakten Lösung ist.
2. Nun setzen wir den Anfangswert ein und bekommen die Steigung an diesem Punkt.
3. Wir berechnen die Tangente an dem Punkt
4. Wir gehen um einen Zeitschritt entlang der Tangente, weichen also von der exakten Lösung ab.
5. Mit dem erhaltenen Punkt beginnen wir bei 1.

Korrekt? Falls ja, weiter im Text: Die Tangente ist im Prinzip nur eine Taylor Reihe erster Ordnung, eine Linearisierung an dem Punkt. (Hoffe ich hab das korrekt gesagt). Es wäre toll, wenn ich noch eine richtige Herleitung hätte. Ich verstehe es schon, aber fühle mich halt noch ein wenig unsicher.


Impliziter Euler:
Hier wird wieder die Tangente berechnet am Anfangspunkt. Jedoch wird diese Tangente nicht an diesen Punkt angesetzt, sondern an den darauffolgenden. Ich denke, dass macht man, da mann so näher an die exakte Lösung kommt. Wenn man sich das Aufzeichnet sieht man es.
Da man aber ja nur einen Startwert hat, jedoch bei der Berechnung des nächstens diesen bereits braucht, muss man ihn halt erst berechnen und kann nicht, wie beim expliziten, sofort berechnen. Daher muss man bei jeder Berechnung von einem nächsten Punkt, immer zuerst noch eine Gleichung lösen.


Stimmt das so in etwa?

Bei mir steht bei der Aufgabe: Implementieren Sie hier die EXPLIZITE Euler Regel zur integration der funktion y(x). Das verwirrt mich, wieso Integration? Der Explizite Euler integriert ja nicht, und die Lösung nicht. Logisch ist die exakte Lösung die Integration deren Ableitung, ist das gemeint?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Verb "integrieren" wird in doppeltem Sinn gebraucht, was mitunter verwirrend ist:
Einerseits integriert man Funktionen, d.h. man berechnet deren Stammfunktion.
Andererseits integriert man Differenzialgleichungen, d.h. man löst diese.
------------------------
Der Witz des Eulerverfahrens besteht darin, dass man einfach den Differezialquotienten durch einen Differenzenquotioneten annähert, also


Umstellen liefert



Diese Näherung ist natürlich um so besser, je kleiner ist. Mit dieser Formel kann man bei Kenntnis eines Wertepaare das benachbarte Wertepaar berechnen:



Das geht endlos weiter. Deine Unterscheidung zwischen explizietem und implizietem Eulerverfahren verstehe ich nicht.
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