Gleichverteilte Wahrscheinlichkeit auf einer Kugeloberfläche

01.03.2015, 17:29	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichverteilte Wahrscheinlichkeit auf einer Kugeloberfläche Obwohl es um eine Zufallsfunktion geht, glaube ich doch, dass ich mit meiner Aufgabe eher im Bereich der Algebra daheim bin. Falls ihr das anders seht, könnt ihr die Frage gerne verschieben. Die Aufgabe ergibt sich aus einer Bewegungs-Simulation am Computer. Dabei ist es an einer Stelle notwendig, per Zufall eine 3D-Vektor mit der Länge 1 zu erzeugen, der in eine beliebige Richtung zeigen soll. Das ist dasselbe, wie per Zufall einen Punkt auf der Oberfläche einer Einheitskugel zu finden. In Kugelkoordinaten heißt das: Der Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ist vorgegeben und hat den Wert 1 Den Azimutwinkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ berechne ich aus einer Zufallsvariable $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \varphi = z_1 \cdot 2\pi \end{eqnarray}$ . Dabei nimmt $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ die Werte zwischen 0 und 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit an. Der Polarwinkel $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ist ebenfalls eine Funktion einer Zufallsvariable $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ , die dieselben Eigenschaften wie $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ hat und von $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ unabhängig ist: $\begin{eqnarray} \theta = f(z_2) \end{eqnarray}$ Wenn ich für die Funktion $\begin{eqnarray} f() \end{eqnarray}$ eine lineare Funktion verwende, sind die Punkte auf der Oberfläche der Kugel leider nicht gleichverteilt. An den Polen liegen sie viel dichter als am Äquator. Der Grund liegt auf der Hand: Ein schmaler Streifen entlang des Äquators mit der Breite d hat eine viel größere Fläche als ein Kugelsegment rund um einen Pol mit dem Radius d. Aber in beiden Flächen landen gleich viele Punkte, daher liegen sie an den Polen dichter beieinander. Das soll aber nicht sein. Frage: Wie muss die oben beschriebene Funktion $\begin{eqnarray} \theta = f(z_2) \end{eqnarray}$ aussehen, damit die zufallsverteilten Punkte die Oberfläche der Kugel gleichmäßig abdecken (überall diesselbe Flächendichte)? Ich habe schon mit Winkelfunktionen und Ableitungen und Integralen herumexperimentiert, aber da ich keine begründete Annahme über die Natur dieser Funktion habe, scheiterten alle Versuche.
01.03.2015, 19:59	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichverteilte Wahrscheinlichkeit auf einer Kugeloberfläche Die Hälfte der Lösung hast du im Grunde schon gefunden. Wenn auf einer Fläche eine Gleichverteilung vorliegen soll, dann muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in einem bestimmten Stück der Fläche liegt, proprtional zur Größe dieses Flächenstücks sein. Betrachte nun einen Streifen auf der Kugel zwischen den Wineln $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vartheta + \Delta\vartheta \end{eqnarray}$ bei kleinem $\begin{eqnarray} \Delta\vartheta \end{eqnarray}$ . Welche Fläche hat dieser Streifen? Daraus bekommst du die Dichtefunktion bezüglich $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ . Um nun von dieser Dichtefunktion zu deiner Funktion $\begin{eqnarray} f(z_2) \end{eqnarray}$ zu kommen, kann man die Inversionsmethode anwenden (googeln hilft). Kurzfassung: Bilde aus der Dichtefunktion die Verteilungsfunktion. Bilde dann die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion.
01.03.2015, 20:53	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
Das alles ist mir schon klar. Ich wusste bisher nur nicht, dass die Methode, nach der ich suche, »Inversionsmethode« heißt. Allerdings hilft mir das nicht viel weiter, denn aus den Erklärungen dazu werde ich nicht schlau. Ich habe auch nicht das akute Bedürfnis, mich jetzt durch die ganze Theorie dazu zu wühlen, obwohl ich das sonst sehr gerne tue. Ich will also nicht unbedingt die Formel aus einer Theorie herleiten, die ich erst lernen müsste, sondern ich will die Formel anwenden. Das ist mir im Moment wichtiger als die Theorie.
02.03.2015, 08:28	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
So schwer ist das nicht. Aber gut, dann leite ich das mal für dich her. Den Winkel $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ messe ich ausgehend von der positiven z-Achse, wie es die Mathematiker meist tun. In der Geografie misst man ihn dagegen ausgehend von der Äquatorebene. Schneidet man die Kugel mit Radius 1 mit einer senkrecht zur z-Achse liegenden Ebene, so ist die Schnittfläche ein Kreis. Dessen Radius sei $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ . Die vertikale Lage der Ebene sei durch $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ definiert. Dann hat man: $\begin{eqnarray} \rho=\sin\vartheta \end{eqnarray}$ Für den von mir genannten Flächenstreifen gilt dann: $\begin{eqnarray} \Delta F \approx 2\pi\sin \vartheta \Delta \vartheta \end{eqnarray}$ Die Dichtefunktion $\begin{eqnarray} g(\vartheta) \end{eqnarray}$ ist also proportional zu $\begin{eqnarray} \sin\vartheta \end{eqnarray}$ und aus der Normierung der Dichtefunktion ergibt sich: $\begin{eqnarray} g(\vartheta)=\frac {1}{2}\sin\vartheta \end{eqnarray}$ Den Buchstaben g habe ich gewählt, damit es keine Verwechslung mit der von dir gesuchten Funktion f gibt. Aus der Dichtefunktion ergibt sich die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} G(\vartheta) \end{eqnarray}$ zu: $\begin{eqnarray} G(\vartheta)=\int_0^{\vartheta} g(\vartheta ')d \vartheta ' = \frac {1}{2}(1-\cos\vartheta) \end{eqnarray}$ Setzt man $\begin{eqnarray} G(\vartheta)=z \end{eqnarray}$ und löst dann nach $\begin{eqnarray} \vartheta \end{eqnarray}$ auf, bekommt man: $\begin{eqnarray} \vartheta = \arccos (1-2z)=f(z) \end{eqnarray}$ Das ist die von dir gesuchte Funktion f, die auf eine im Intervall [0, 1] gleichverteilte Zufallsgröße z anzuwenden ist.
02.03.2015, 11:21	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE!!! Bis $\begin{eqnarray} \frac{d F}{d \vartheta} = 2\pi\sin \vartheta \end{eqnarray}$ bin ich ja noch alleine gekommen, aber dann wusste ich nicht mehr weiter. (Ich muss mal bei Gelegenheit ein wenig über die Begriffe Dichtefunktion und Verteilungsfunktion meditieren) Vielen Dank nochmal! Die Funktion leistet genau was sie soll!
04.05.2019, 10:38	coproc	Auf diesen Beitrag antworten »
vereinfachte Sicht + Berechnung Wie man an der Lösung von Huggy sieht, berechnet sich die Koordinate z als cos(theta) = cos(arccos(1-2Z)) = 1-2Z, wobei Z eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable ist. D.h. die Koordinate z ist auf [-1,1] gleichverteilt. Das kann man sich direkt überlegen, indem man aus der Einheitskugel schmale Streifen quer zur z-Achse (Kugelschichten, de.wikipedia.org/wiki/Kugelschicht) herausschneidet und dann findet, dass die herausgeschnittene Mantelfläche nur von der Projektionsbreite h des Streifens auf die z-Achse abhängt: Mantelfläche = 2 pi h. Somit berechnen sich die Koordinaten eines auf der Oberfläche einer Einheitskugel gleichverteilten Punktes aus zwei auf [0,1] gleichverteilten Zufallsvariablen Z1, Z2 wie folgt: z=1-2Z2, x=cos(2piZ1)sqrt(1-z^2), y = sin(2piZ1)*sqrt(1-z^2)
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