Prüfen ob Mengenalgebra

01.03.2015, 23:12

telli

Prüfen ob Mengenalgebra

Meine Frage:
Hallo,

Ich schaue ob ein Mengensystem eine Mengenalgebra ist, habe einige Fragen.
Hier die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ bestehe aus allen Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einer unendlichen Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft, dass entweder $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ selber oder sein Komplement $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ endlich ist. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ eine Mengenalgebra ist.

Meine Ideen:
"mit der Eigenschaft, dass entweder $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ selber oder sein Komplement $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ endlich ist"

Da eine Menge ja entweder endlich oder unendlich ist, verstehe ich das so, dass jede Menge die endlich ist eine Komplementmenge hat, die unendlich ist. Was mich stört ist eben, dass das nicht explizit steht sondern nur verlangt wird, dass eine der beiden Mengen endlich sein soll.

Also ich prüfe die Axiome von Mengenalgebra:

1. $\begin{eqnarray*} \emptyset \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
Die leere Menge ist endlich. (check)
Ich weiss jetzt nicht ob ich noch zusätzlich prüfen muss ob sein Komplement unendlich ist.. Ich mach mal einfach:
$\begin{eqnarray*} \emptyset^{c}=\Omega \end{eqnarray*}$ unendlich (check)

2. $\begin{eqnarray*} A \in \mathfrak{A} \rightarrow A^c \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
Per Definition hat jedes A ein komplement (check)

3. $\begin{eqnarray*} A,B \in \mathfrak{A} \rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
Hier muss ich wahrscheinlich verschiedene Fälle für A und B betrachten (A endlich unendlich und B endlich unendlich)
Ich nehme mal an $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ seien beide endlich. Dann ist $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ auch endlich.
Jetzt schaue ich wieder ob $\begin{eqnarray*} (A\cup B)^c \end{eqnarray*}$ unendlich ist und da verliere ich den Faden.
Nach Morgan gilt $\begin{eqnarray*} (A\cup B)^c = A^c \cap B^c \end{eqnarray*}$
Da A und B unendlich sind, sind deren Komplemente unendlich. Die Schnittmenge von zwei unendlichen Mengen muss nicht unendlich sein. Z.b wenn sie disjunkt sind oder nur ein Punkt gemeinsam haben. Da verstehe ich das nicht mehr. Muss nicht zwingend gelten, dass das Komplement unendlich sein soll? In der Aufgabenstellung steht nur "die Menge selbst oder deren Komplement ist endlich" na ja das ist schon erfüllt aber.. aber aber aber..

01.03.2015, 23:32

URL

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RE: Prüfen ob Mengenalgebra
Vielleicht hilft ein Beispiel zum Verständnis von $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\} \end{eqnarray*}$ .
1. $\begin{eqnarray*} A=\{1,2\} \end{eqnarray*}$ ist endlich, also $\begin{eqnarray*} A\in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} A=\{n\in\mathbb{N}\mid n\geq 5\} \end{eqnarray*}$ ist unendlich, aber $\begin{eqnarray*} A^c=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ ist endlich.
Also wieder $\begin{eqnarray*} A\in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} A=\{2n-1\mid n\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ ist unendlich, ebenso $\begin{eqnarray*} A^c=\{2n\mid n\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} A\notin \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$

01.03.2015, 23:56

telli

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RE: Prüfen ob Mengenalgebra
Danke für das Beispiel aber das hilft mir leider nicht weiter. Ich verstehe schon wie ein solches Mengensystem in etwa aussieht.

Mein Problem ist hauptsächlich Punkt 3.

Wenn A und B endlich sind so ist ja AuB auch endlich. Dann muss aber (AuB)^c unendlich sein, was ich nicht sehen kann.

02.03.2015, 02:39

telli

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RE: Prüfen ob Mengenalgebra
Kann ich das etwa so begründen:

Seien $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ endlich, so ist $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ endlich. Das Komplement ist dann: $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^c = \Omega \backslash (A \cup B) \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ unendlich ist, folgt somit auch, dass $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^c \end{eqnarray*}$ unendlich ist. (check)

Für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unendlich ergibt $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ eine unendliche Menge. Mit Morgan folgt dann $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \end{eqnarray*}$ . Da einer der beiden Mengen endlich ist, ist die Schnittmenge endlich. (check)

Für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ beide unendlich ist $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ auch unendlich. Dann ist $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ der Schnitt zweier endlicher Mengen, welche wiederum endlich ist (auch check)

Wieso ich im ersten Fall nicht mit Morgan begründen kann ist mir schleierhaft.. Liegt das daran dass keine Aussage über $\begin{eqnarray*} X \cap Y \end{eqnarray*}$ gemacht werden kann wenn beide Mengen unendlich sind? Das selbe gilt auch für $\begin{eqnarray*} X\backslash Y \end{eqnarray*}$ .

02.03.2015, 22:44

Iorek

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RE: Prüfen ob Mengenalgebra

Zitat:

Original von telli
Danke für das Beispiel aber das hilft mir leider nicht weiter. Ich verstehe schon wie ein solches Mengensystem in etwa aussieht.

Nein, das hast du eben nicht. Sonst hättest du mit dem Beispiel von URL deinen Fehler schon selbst einsehen können. unglücklich

Sieh dir das Beispiel also noch einmal in Ruhe an.

Und auch deine Begründung zur zweiten Eigenschaft ist nicht ausreichend. Du musst zeigen, dass mit $\begin{eqnarray*} A\in\mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A^c\in\mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ ist. Damit musst du ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die geforderte Eigenschaft besitzt.

03.03.2015, 13:22

telli

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RE: Prüfen ob Mengenalgebra

Zitat:

Du musst zeigen, dass mit $\begin{eqnarray*} A\in\mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A^c\in\mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ ist.

Das ist doch laut Definition die Voraussetzung?
"mit der Eigenschaft, dass entweder $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ selber oder sein Komplement $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ endlich ist"
Falls $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ endlich $\begin{eqnarray*} \rightarrow A^c \end{eqnarray*}$ unendlich

Zitat:

Nein, das hast du eben nicht. Sonst hättest du mit dem Beispiel von URL deinen Fehler schon selbst einsehen können.

Ich habe ganz konkrete Fragen. Vielleicht sagst du mir wo der Fehler ist und was ich falsch denke.

03.03.2015, 17:19

HAL 9000

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Warum willst du im ersten Fall mit Morgan begründen?

$\begin{align*} A \end{align*}$ gehört zu $\begin{align*} \mathfrak{A} \end{align*}$ , wenn entweder $\begin{align*} A \end{align*}$ oder $\begin{align*} A^c \end{align*}$ endlich ist. Wenn also $\begin{align*} A \end{align*}$ bereits als endlich nachgewiesen ist, musst du dich um $\begin{align*} A^c \end{align*}$ überhaupt nicht mehr kümmern, oder umgekehrt - es ist so oder so dann $\begin{align*} A\in\mathfrak{A} \end{align*}$ klar!

Insofern können deine Begründungen zur Vereinigung radikal abgekürzt werden:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ endlich, so ist $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ endlich. (check)

Für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unendlich: Mit Morgan folgt dann $\begin{eqnarray*} (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \end{eqnarray*}$ . Da mindestens eine der beiden Komplementmengen endlich ist, ist die Schnittmenge endlich. (check)

Der dritte Fall ist vollkommen unnötig, denn das "oder" im zweiten Fall ist kein "exklusiv oder", sondern ein normales logisches "oder", das auch den Fall einschließt, dass beide Mengen unendlich sind.

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