Messbare Funktion über Q

02.03.2015, 12:50

Pompadur

Messbare Funktion über Q

Hallo Mathegenies! Wink

Ich habe in Maßtheorie folgende Übungsaufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}x^{-2}& \text{für }x \in \mathbb{Q}\setminus\{ 0 \} \\ e^{-x} & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} f \text{ } \lambda_1 \end{eqnarray*}$ -messbar?

In der Lösung steht lediglich:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ -messbar, da f als Summe

$\begin{eqnarray*} f(x)=\chi_{\mathbb{Q}\setminus\{0\}}\cdot x^{-2}+\chi_{\mathbb{R}\setminus (\mathbb{Q}\setminus\{0\})}\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

zweier $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ -messbarer Funktionen geschrieben werden kann.

Diese Begründung ist für mich nicht so offensichtlich. Warum gilt denn, dass z.B. $\begin{eqnarray*} f_1(x):=\chi_{\mathbb{Q}\setminus\{0\}}\cdot x^{-2} \end{eqnarray*}$ messbar ist?

02.03.2015, 12:55

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Messbare Funktion über Q
$\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb Q \setminus \{0\} } \end{eqnarray*}$ ist messbar, falls $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ messbar ist. Und das ist eine abzählbare Vereinigung von Punkten, und Punkte sind messbar. Alternativ ist es eine Nullmenge und da das Lebesguemaß vollständig ist, ist es messbar. Und $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^{-2} \end{eqnarray*}$ ist stetig, insbesondere messbar.

02.03.2015, 13:44

Pompadur

Auf diesen Beitrag antworten »

Mensch vielen Dank!

Aber wie handhabe ich das mit $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb{R}\setminus (\mathbb{Q}\setminus \{0\})} \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus (\mathbb{Q}\setminus \{0\}) \end{eqnarray*}$ ist ja überabzählbar...

Das Einzige, dass mir einfällt ist die Lösung per Definition:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb{R}\setminus (\mathbb{Q}\setminus \{0\})}^{-1}(A)=\begin{cases}\mathbb{R}& \text{falls } 0 \in A \text{ und } 1 \in A \\ {\mathbb{R}\setminus (\mathbb{Q}\setminus \{0\})} & \text{falls } 0 \notin A \text{ und } 1 \in A \\ \mathbb{Q} \setminus \{0\}& \text{falls } 0 \in A \text{ und } 1 \notin A \\ \varnothing & \text{falls } 0 \notin A \text{ und } 1 \notin A\end{cases} \end{eqnarray*}$

Woraus folgt: $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb{R}\setminus (\mathbb{Q}\setminus \{0\})}^{-1}(A) \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$
Damit wäre $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb{R}\setminus (\mathbb{Q}\setminus \{0\})}(X) \end{eqnarray*}$ Borel- und somit Lebesgue-messbar?

Geht das auch ähnlich elegant wie deine Lösung zu $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb{Q} \setminus \{0\}} \end{eqnarray*}$ ?

02.03.2015, 14:08

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht es für eine Basis der Borel-Algebra zu zeigen. D.h. $\begin{eqnarray*} A = (-\infty, a] \end{eqnarray*}$ für alle a. Damit ist es einfacher.

Alternativ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus ( \mathbb Q \setminus \{ 0 \} ) = [\mathbb Q \setminus \{ 0 \}]^c \end{eqnarray*}$ und damit als Komplement einer messbaren Menge messbar. Äquivalent $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb R \setminus ( \mathbb Q \setminus \{ 0 \}) } = 1 - \chi_{\mathbb Q \setminus \{ 0 \}} \end{eqnarray*}$ .

04.03.2015, 17:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Äquivalent $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb R \setminus ( \mathbb Q \setminus \{ 0 \}) } = 1 - \chi_{\mathbb Q \setminus \{ 0 \}} \end{eqnarray*}$ .

Womit sich die Funktion auch $\begin{align*} f(x) = e^{-x} + \chi_{\mathbb{Q}\setminus\{0\}}\cdot \left( x^{-2} - e^{-x}\right) \end{align*}$ schreiben lässt. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Messbare Funktion über Q

Verwandte Themen