Polynome im Unterraum

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02.03.2015, 13:07	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome im Unterraum $\begin{eqnarray} U = \left\{ p_{n} \in P_{n} \| p_{n}(-x) + p_{n}(x) = 0 \wedge p_{n}' = 0\right\} \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie: U ist Unterraum von Pn b) Leiten Sie eine Basis für U her. zu a): Mich verwirrt hier, dass man hier zwei Sachen hat. Ich habe sonst nur Aufgaben bearbeitet die man mit einer Eigenschaft berechnen musste. Jetzt war ich mir nicht sicher ob man das für beide zeigen muss, oder ob man das einfach vereinen kann und daraus dann beweist ob es ein Unterraum ist. Also die Eigenschaft so umschreiben: $\begin{eqnarray} p_{n}(-x) + p_{n}(x) = p_{n}'(0) \end{eqnarray}$ Und danach dann nach pn(x) umformen. Ist das so ok? zu b): Ich habe mir die Polynome so aufgeschrieben: pn(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + yx + z pn'(x) = nax^(n-1) + (n-1)bx^(n-2) + ... + y Dadurch finde ich dann heraus, dass pn'(0) = y = 0 sein muss und pn(-x) + pn(x) = z = 0 Also lautet die Basis wie folgt: {x^2,..., x^n} Ich erwarte natürlich nicht, dass ihr mir die Aufgabe hier löst, aber ich wäre sehr denkbar wenn mir jemand sagen kann obder Ansatz richtig oder falsch ist.
02.03.2015, 13:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend hast du U falsch definiert. ein Polynom, dessen Ableitung verschwindet, ist konstant 0.
02.03.2015, 13:44	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid. Ich meine natürlich pn'(0) = 0
02.03.2015, 14:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass die ungeraden Polynome maximal n-ten Grades ein UVR des VR der Polynome maximal n-ten Grades sind, weißt du schon (oder kannst es beweisen). Jetzt brauchst du nur noch diejenigen mit bei 0 verschwindender 1. Ableitung als UVR davon nachzuweisen. (Ich vermute allerdings, das ist der Nullraum, und dessen Basis kenne ich.)
02.03.2015, 14:36	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber dann haben wir doch noch nicht pn(-x) = pn(x) mit einbezogen, oder?
02.03.2015, 14:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} p_n(-x)=-p_n(x) \end{eqnarray}$ ! Das sind ungerade Funktionen, die bei 0 einen Vorzeichenwechsel haben.
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02.03.2015, 15:20	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
ich kann irgendwie nicht folgen. heißt das jetzt, dass mein Ansatz falsch ist?
02.03.2015, 16:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, dein Ansatz ist falsch . $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ gehört nicht zur Basis, denn $\begin{eqnarray} 1^2+(-1)^2=2\ne 0 \end{eqnarray}$ . Korrektur: Meine obige "Vermutung" ist falsch, denn $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ gehört als ungerade Funktion mit $\begin{eqnarray} (x^3)'(0)=0 \end{eqnarray}$ zu dem UVR, der ist also nicht der Nullraum.
02.03.2015, 20:10	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß dass es doof ist wenn man nur nach Schema Aufgaben löst. Mein Problem hier ist, dass ich nicht mehr so schön die Bedingung einfach nehmen kann um dann zu beweisen ob die Teilmenge auf Addition und skalare Multiplikation abgeschlossen ist, weil da noch eine zweite Bedingung steht. Muss ich das dann einfach für die eine, und dann für die andere beweisen?
03.03.2015, 09:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagen, Wahrheitswerte und Mengen: Ist $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Aussage und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ eine Aussage, dann ist $\begin{eqnarray} A\wedge B \end{eqnarray}$ eine Aussage. $\begin{eqnarray} A\wedge B \end{eqnarray}$ ist genau dann wahr, wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ wahr ist und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ wahr ist. Für Mengen gilt also $\begin{eqnarray} \{x\in M:A(x)\wedge B(x)\}=\{x\in M:A(x)\} \cap \{x\in M:B(x)\} \end{eqnarray}$

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