Und wieder ein fieses Integral ..

02.03.2015, 13:52

DrHWI

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Und wieder ein fieses Integral ..

Meine Frage:
Hallihallo Wink

Wink

Ich poste heute nun mein gefühltes 10. Integral, das ich nicht ohne Schwierigkeiten lösen kann und zwar handelt es sich um dieses hier:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{a^2-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx \end{eqnarray*}$

In meiner Musterlösung steht folgendes:
$\begin{eqnarray*} x = a* sin(z) \end{eqnarray*}$ Theorem: $\begin{eqnarray*} cos(2z)=1-2sin^2(z);\,\,\,\,n=2z; \end{eqnarray*}$ Theorem: $\begin{eqnarray*} sin(2z)=2sin(z)*cos(z)\rightarrow I=x*\sqrt{a^2-x^2}+c \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kann leider schon den bloßen Gedankengang nicht nachvollziehen. unglücklich

unglücklich

Ich wäre dankbar für jegliche Hilfe!! Hammer

Hammer

02.03.2015, 13:55

bijektion

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Wichtig dafür, ist erstmal der trigonometrische Pythagoras $\begin{eqnarray*} \cos^2x+\sin^2x=1 \end{eqnarray*}$ .

Wir versuchen nun die Wurzel im Nenner möglichst klein zu bekommen, und da offenbar $\begin{eqnarray*} \cos^2x=1-\sin^2x \end{eqnarray*}$ ist, folgt die erste Substitution. Soweit klar?

02.03.2015, 14:19

DrHWI

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Ja, der trigonometrische Pythagoras ist mir bekannt. Und wir gehen jetzt einfach davon aus, dass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} a^2-x^2 \end{eqnarray*}$ 1-sin^2(x) wäre...? Woher kommt dieses "Wissen"? Einfach Annahme? Geübtes Auge? Pfiffigkeit? smile

smile

02.03.2015, 14:43

bijektion

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Was heißt denn "wäre"? Wir Substituieren einfach, um einen schöneren Ausdruck zu erhalten.
Hier hilft wohl die Erfahrung, oft wird bei Ausdrücken wie $\begin{eqnarray*} a^2-x^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner mit $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ substituiert.

EDIT: Ähnlich verhält es sich bei $\begin{eqnarray*} a^2+x^2 \end{eqnarray*}$ , hier nutzt man oftmals $\begin{eqnarray*} \sinh \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2015, 15:16

DrHWI

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Oookay... also so richtig scheint mir noch kein Licht aufgegangen zu sein, denn wenn ich jetzt sage $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{a^2-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx =\int \! \frac{cos^2(x)}{cos(x)}\, dx=\int \! cos(x)\, dx \end{eqnarray*}$ kann das wohl kaum stimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.03.2015, 15:33

klarsoweit

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RE: Und wieder ein fieses Integral ..

Zitat:

Original von DrHWI
In meiner Musterlösung steht folgendes:
$\begin{eqnarray*} x = a* sin(z) \end{eqnarray*}$

Vielleicht solltest du mal ordentlich diese Substitution durchführen. Davon ist weit und breit nichts erkennbar. geschockt

geschockt

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02.03.2015, 15:38

DrHWI

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Entschuldige, wenn ich die Zusammenhänge nicht verstehe, aber woher weiß ich denn überhaupt, dass x = a sin(z) ist, ohne in den Lösung zu schauen? Hat das auch etwas mit dem trigonometrischen Pythagoras zu tun? Wahrscheinlich nicht, oder?

02.03.2015, 16:00

klarsoweit

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Nun ja, indirekt schon. Wenn man einen Ausdruck wie $\begin{eqnarray*} a^2 - x^2 \end{eqnarray*}$ sieht, dann kommt man dem trigonometrischen Pythagoras schon sehr nahe, wenn a=1 und x= sin(z) oder x = cos(z) ist.

02.03.2015, 16:50

DrHWI

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Ich bin mir nicht ganz sicher, wie das jetzt sein soll... $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{a^2-2a*sin^2(z)}{\sqrt{a^2-sin^2(z)}}\, dz \end{eqnarray*}$ ?

02.03.2015, 17:25

bijektion

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Nein. Mit der Substitution ergibt sich $\begin{eqnarray*} \int \! ~\frac{a^2\cdot (1-2\cdot\sin^2z)}{\sqrt{a^2\cdot (1-\sin^2z)}}\cdot cos z~ \, dz \end{eqnarray*}$ , denn es ist $\begin{eqnarray*} x=a\cdot \sin z \end{eqnarray*}$ und somit also $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=a\cdot\cos z \end{eqnarray*}$ .

02.03.2015, 17:41

DrHWI

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Hammer

Das wird nicht leicht mit mir...
Alsooo warum überhaupt heißt es x = a*sin(z)? Woher kommt das a schon wieder? Warum muss ich es substituieren? Und dann... wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} \end{eqnarray*}$ habe, dann dachte ich, dass ich durch die Produktregel ableiten würde? Aber da scheine ich auch einen Denkfehler zu haben, denn meine Ergebnis wäre dann sin(z)+a*cos(z)... unglücklich

unglücklich

Edit: Und warum dx nach dz? ... sonst wird es doch genau andersrum gehandhabt? unglücklich

unglücklich

02.03.2015, 18:03

DrHWI

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Aaach, das mit $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} \end{eqnarray*}$ hat sich geklärt. smile

smile

02.03.2015, 18:11

bijektion

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Es heißt $\begin{eqnarray*} x=a\cdot\sin z \end{eqnarray*}$ , damit man jeweils ein $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern kann.

Zitat:

Und warum dx nach dz? ... sonst wird es doch genau andersrum gehandhabt? unglücklich

Das kommt drauf an wie du substituierst, manchmal setzt man ja auch $\begin{eqnarray*} u=g(x) \end{eqnarray*}$ .

02.03.2015, 18:24

DrHWI

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Aber so wie Dein Integral $\begin{eqnarray*} \int \! ~\frac{a^2\cdot (1-2\cdot\sin^2z)}{\sqrt{a^2\cdot (1-\sin^2z)}}\cdot cos z~ \, dz \end{eqnarray*}$ aufgestellt ist, haben wir doch kein a ausgeklammert? ...ich glaube, das ist eine Aufgabe zum Verzweifeln... unglücklich

unglücklich

Leitet man a*sin(z) nicht herkömmlich ab?

02.03.2015, 18:55

bijektion

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Und was ist dann $\begin{eqnarray*} a^2\cdot (1-2\cdot\sin^2z) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Leitet man a*sin(z) nicht herkömmlich ab?

Hab ich gemacht.

02.03.2015, 19:03

DrHWI

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...okay...ich habs gerade verstanden... Entschuldigung.

Aber wenn ich a*sin(z) ableite:

u=a; u'=1
v= sin(z); v'=cos(z)

Dann ergibt sich doch sin(z)+a*cos(z)? unglücklich

unglücklich

02.03.2015, 19:06

bijektion

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Nein, Faktorregel: $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}c\cdot f(x)=c\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Wenn du es aber unbeding mit Produktregel machen willst ist $\begin{eqnarray*} u(z)=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(z)=\sin z \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich $\begin{eqnarray*} u'(z)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(z)=\cos z \end{eqnarray*}$ .

02.03.2015, 19:11

DrHWI

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Okay.

Und dann muss jetzt also irgendwas aus meinem Zähler machen, oder? Und laut Lösung hat er ja auch etwas mit dem Additionstheorem $\begin{eqnarray*} cos(2x)=\frac{1}{2}(1-sin^2(x)) \end{eqnarray*}$ zu tun. ...allerdings fehlen mir die 0,5. Und den Nenner könnte ich von $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2-(1-sin^2(x))} = \sqrt{a^2-cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ werden lassen?

02.03.2015, 19:15

bijektion

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Wie du das aus dem Nenner machen willst, ist mir schleierhaft.
Du kannst zuerst $\begin{eqnarray*} \cos^2 z=1-\sin^2 z \end{eqnarray*}$ nutzen, anschließend $\begin{eqnarray*} \cos^2 (2z)=1-2\cdot\sin^2z) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das machst, hast du nur noch $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ .

02.03.2015, 19:26

DrHWI

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Also es tut mir leid, wenn ich nur herumrate, obwohl Du mir die ganze Zeit einen Wink mit dem Zaunpfahl gibst, aber ich es trotzdem nicht schaffe. Ehrlich gesagt, verstehe ich wirklich die gesamte Aufgabe nicht. Vom Anfang bis zum Ende. Warum steht denn nun nur $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ im Bruch? Was ist denn aus meinem $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ geworden?!

02.03.2015, 19:33

bijektion

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Zitat:

Warum steht denn nun nur $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ im Bruch? Was ist denn aus meinem $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ geworden?!

Ja das ist natürlich auch noch da, aber halt konstant.
Wenn ich dir sage, du sollst $\begin{eqnarray*} \int ~ a\cdot x^3 ~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ bestimmen, dann ist dir doch auch egal, was das $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, da das Integral linear ist (also $\begin{eqnarray*} \int ~a \cdot f = a\cdot \int ~f \end{eqnarray*}$ für alle Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ).

Bis wohin bist du jetzt gekommen? Hast du schon $\begin{eqnarray*} \int \! ~\frac{a^2\cdot (1-2\cdot\sin^2z)}{\sqrt{a^2\cdot (1-\sin^2z)}}\cdot cos( z)~ \, dz =\int \! ~\frac{a^2\cdot \cos(2z)}{\sqrt{a^2\cdot \cos^2 z}}\cdot cos (z)~ \, dz \end{eqnarray*}$ ?

02.03.2015, 19:42

DrHWI

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Ja, ich bin jetzt noch einmal alles von vorn bis hinten durchgegangen und habe langsam ein kleines bisschen Licht im Dunkeln gefunden. Also wenn: $\begin{eqnarray*} \int \! ~\frac{a^2\cdot (1-2\cdot\sin^2z)}{\sqrt{a^2\cdot (1-\sin^2z)}}\cdot cos( z)~ \, dz =\int \! ~\frac{a^2\cdot \cos(2z)}{\sqrt{a^2\cdot \cos^2 z}}\cdot cos (z)~ \, dz \end{eqnarray*}$
Dann geht's weiter mit

$\begin{eqnarray*} a\int \! \frac{cos^2(2z)*cos(z)}{cos(x)}\, dz = a\int\!cos^2(2z) dz \end{eqnarray*}$

Ich schätze jetzt folgt die Resubstitution?

EDIT: Wohl wieder falsch gedacht. Laut Lösung muss ich nochmals 2z substituieren...

02.03.2015, 19:49

bijektion

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Dann Substituier halt, dadurch erhälst du nur eine Konstante.
Man könnte auch so integrieren, mit der Substitution ist es aber schöner.

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{c^2}=|c| \end{eqnarray*}$ , du musst also acht geben.

02.03.2015, 19:58

DrHWI

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Also $\begin{eqnarray*} a\int\!cos^2(2z)dz=a\int\!cos^2(n)*\frac{dn}{2}=\frac{a}{2}\int \! cos^2(n) dn = \frac{a}{2}sin(2z)=\frac{a}{2}2sin(z)*cos(z) = a*sin(z)*cos(z) \end{eqnarray*}$

Und jetzt z=arcsin(x):a?

02.03.2015, 20:40

outSchool

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ja, mach das mal so

$\begin{align*} z = arcsin(\frac{x}{a} ) \end{align*}$

und dann ausmultiplizieren.

02.03.2015, 20:52

DrHWI

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Ich habe gerade bemerkt, dass meine Rechnung falsch war...könnte hier bitte einmal jemand drüber schauen? Das Ganze wird recht komplex meiner Meinung nach...

Nochmals:
$\begin{eqnarray*} a\int\!cos^2(2z)\,dz=a\int\!cos^2(n)\frac{dn}{2}=\frac{a}{2}\int\! \frac{1}{2}(1+cos(2n))\,dn=\frac{a}{4}\int\!dn+\frac{a}{4}\int\!cos(2n)\, dn=\frac{a}{4}x+\frac{a}{4}\int\!cos(u)\frac{du}{2}=\frac{a}{4}x+\frac{a}{8}\int\!sin(2n)\,dn=\frac{a}{4}+\frac{a}{8}\int\!2*sin(n)*cos(n)\,dn \end{eqnarray*}$

Mir ist hier sicher irgendein Fehler unterlaufen, oder? Das Ganze scheint mir leicht unberechenbar...

02.03.2015, 21:33

outSchool

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Hallo,

lass dich jetzt mal nicht durcheinander bringen.

Wir kürzen und erhalten

$\begin{align*} a\cdot \int \! f(z) \, dz = a\cdot \int \! \cos(2z) dz = a\cdot \sin(z)\cdot\cos(z) \end{align*}$

Das gibt dann (nach Rücksubstituion)?

02.03.2015, 21:49

DrHWI

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Ich kann momentan meinen eigenen Gedankengang nicht mehr nachvollziehen... warum ist $\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}\int\!cos^2(n)\,dn=\frac{a}{2}sin(2z) \end{eqnarray*}$ ?

Rücksubstituiert wäre es:
$\begin{eqnarray*} a*sin(arcsin(\frac{x}{a}))*cos(arcsin(\frac{x}{a}))=a*\frac{x}{a}*\sqrt{1-sin^2(arcsin(\frac{x}{a})}=x*\sqrt{1-\frac{x}{a}^2}+c \end{eqnarray*}$

Ich habe mich offensichtlich schon wieder verrechnet... denn mein Ergebnis stimmt nicht mit dem der Musterlösung überein... unglücklich

unglücklich

02.03.2015, 21:55

outSchool

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Zitat:

Original von bijektion
Bis wohin bist du jetzt gekommen? Hast du schon $\begin{eqnarray*} \int \! ~\frac{a^2\cdot (1-2\cdot\sin^2z)}{\sqrt{a^2\cdot (1-\sin^2z)}}\cdot cos( z)~ \, dz =\int \! ~\frac{a^2\cdot \cos(2z)}{\sqrt{a^2\cdot \cos^2 z}}\cdot cos (z)~ \, dz \end{eqnarray*}$ ?

Kürze das mal was bijektion vorbereitet hat. Es gibt kein $\begin{align*} \cos^2(2z) \end{align*}$

02.03.2015, 22:32

DrHWI

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traurig

Heute klappt gar nichts. Ich habe die ganze Zeit mit dem falschen Term gerechnet, darum kam ich auch nicht auf die Lösung.
Nichtsdestotrotz will mir auch ganz zum Schluss die Resubstitution nicht gelingen:
$\begin{eqnarray*} a*sin(z)*cos(z)=a*\frac{x}{a}*\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}=x*\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2} \end{eqnarray*}$

02.03.2015, 23:19

outSchool

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Zitat:

Original von bijektion
Bis wohin bist du jetzt gekommen? Hast du schon $\begin{eqnarray*} \int \! ~\frac{a^2\cdot (1-2\cdot\sin^2z)}{\sqrt{a^2\cdot (1-\sin^2z)}}\cdot cos( z)~ \, dz =\int \! ~\frac{a^2\cdot \cos(2z)}{\sqrt{a^2\cdot \cos^2 z}}\cdot cos (z)~ \, dz \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet. Hier wurde ein a verschluckt. Es ist

$\begin{align*} dx =a \cdot \cos(z)dz \end{align*}$

$\begin{align*} \int \! \frac{a^2-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx =\int \! ~\frac{a^2\cdot \cos(2z)}{\sqrt{a^2\cdot \cos^2 (z)}}\cdot a\cdot cos (z)~ \, dz \end{align*}$

04.03.2015, 09:14

DrHWI

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Okay. Also ich bin diese gesamte Aufgabe nun nochmal ausführlich durchgegangen. Meine Frage wäre jetzt nochmal: Woher rührt $\begin{eqnarray*} cos(2z)=1-2sin^2(z) \end{eqnarray*}$ ? Mir ist $\begin{eqnarray*} cos(2x)=2sin(x)cos(x) \end{eqnarray*}$ bekannt.

Und wenn ich es nun nochmals berechne, dann folgt $\begin{eqnarray*} a^2*sin(arcsin(\frac{x}{a}))*cos(arcsin(\frac{x}{a}))+c=a^2*\frac{x}{a}*\sqrt{1-sin^2(arcsin(\frac{x}{a}))}+c = ax*\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}+c \end{eqnarray*}$

Und dann habe ich leider noch immer nicht meine Musterlösung. Irgendwo mache ich etwas falsch... Hammer

Hammer

04.03.2015, 10:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von DrHWI
Meine Frage wäre jetzt nochmal: Woher rührt $\begin{eqnarray*} cos(2z)=1-2sin^2(z) \end{eqnarray*}$ ? Mir ist $\begin{eqnarray*} cos(2x)=2sin(x)cos(x) \end{eqnarray*}$ bekannt.

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} sin(2x) = 2sin(x)cos(x) \end{eqnarray*}$
Für cos(2z) gilt: $\begin{eqnarray*} cos(2z) = cos^2(z) - sin^2(z) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DrHWI
Und dann habe ich leider noch immer nicht meine Musterlösung.

Wie sieht denn die Musterlösung aus?

04.03.2015, 10:19

DrHWI

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Aber woher weiß ich dann, dass ich über $\begin{eqnarray*} 1-2sin^2(z) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} cos(2z) \end{eqnarray*}$ komme, wenn das Theorem $\begin{eqnarray*} cos(2z)=cos^2(z)-sin^2(z) \end{eqnarray*}$ ? smile

smile

Laut Musterlösung soll das hier die Lösung sein:

$\begin{eqnarray*} I= x*\sqrt{a^2-x^2}+c \end{eqnarray*}$

04.03.2015, 10:32

bijektion

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$\begin{eqnarray*} \cos(2z)=\cos^2z-\sin^2z = (1-\sin^2z)-\sin^2z= 1-2\cdot\sin^2z \end{eqnarray*}$

04.03.2015, 10:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von DrHWI
Laut Musterlösung soll das hier die Lösung sein:

$\begin{eqnarray*} I= x*\sqrt{a^2-x^2}+c \end{eqnarray*}$

Wenn du mal in deiner Lösung den Faktor a zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} \end{eqnarray*}$ machst und den dann unter die Wurzel ziehst, hast du auch deine Musterlösung. Wenn man mal genau hinsieht, lag das doch auf der Hand, oder nicht?

04.03.2015, 10:42

DrHWI

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Okay... das war offensichtlicher als ich es gern zugeben würde... Hammer

Hammer

04.03.2015, 12:35

DrHWI

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Trotz allem....die Musterlösung will nicht mit meiner übereinstimmen... unglücklich

unglücklich

04.03.2015, 12:51

klarsoweit

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Ja, wo hängt's denn jetzt noch? verwirrt

verwirrt

04.03.2015, 16:15

DrHWI

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Tut mir leid, ich hatte Deinen Beitrag nicht gesehen... ja, es ist die Lösung. Oh man...ich werde das jetzt nochmal alles von vorn bis hinten durchgehen, um es wirklich zu begreifen. Vielen lieben Dank für die (nicht ganz einfache) Hilfe! Gott

Gott

Gott

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