MacLaurin-Reihe

02.03.2015, 14:34	jreuab	Auf diesen Beitrag antworten »
MacLaurin-Reihe Meine Frage: Hallo, ich rechne gerade Prüfungsaufgaben noch und da sollte man für diese Funktion eine MacLaurin-Reihe entwickeln und herausfinden, für welche $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ die Reihe mit der Funktion übereinstimmt: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x}{1+3x^2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Diesen Ansatz haben wir dazu gelernt: $\begin{eqnarray} <br /> (1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n<br /> \end{eqnarray}$ Ich habe also die Funktion umgeformt: $\begin{eqnarray} f(x)=x(1+3x^2)^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=x\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1}{n}(3x^2)^n \end{eqnarray}$ So weit ganz einfach, ich hoffe das stimmt bis jetzt. Ich habe zwar keine Ahnung, für welche x eine Taylor- oder MacLaurin-Reihe mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt, aber da es bei Reihen ja nicht so viel gibt, was man tun könnte, denke ich, es ist das Konvergenzintervall der Reihe. Dazu muss die Reihe in die Form $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n \end{eqnarray}$ überführt werden. $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}\binom{-1}{n}(3^nx^{2^n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}(\binom{-1}{n}3^n)(x^{2n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}(\binom{-1}{n}3^nx^{n})(x-0)^n \end{eqnarray}$ Glücklicherweise ist $\begin{eqnarray} \binom{-1}{n}=(-1)^n \end{eqnarray}$ . Somit wäre meiner Meinung nach $\begin{eqnarray} a_n=-3^nx^n \end{eqnarray}$ . Um den Konvergenzradius zu bestimmen, würde ich nun die Formel hier benutzen: $\begin{eqnarray} <br /> r&=(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\|a_n\|})^{-1}\\<br /> r&=(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\|-3^nx^n\|})^{-1}\\<br /> r&=(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\|-3^n\|}\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{\|x^n\|})^{-1}\\<br /> r&=(\|3\|\|x\|)^-1\\<br /> r&=\frac{1}{3\|x\|}<br /> \end{eqnarray}$ So, und genau da liegt das Problem. Der Konvergenzradius kann doch nicht von x abhängen, oder? Es kann ja nicht sein, dass $\begin{eqnarray} \|x\| < \frac{1}{3\|x\|} \end{eqnarray}$ ist. Wo ist also mein Fehler?

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