Differenzierbarkeit

20.08.2004, 17:01

lamox79

Differenzierbarkeit

Hallo

Ich stehe gerade vor folgender Aufgabe:

Prüfe auf Differenzierbarkeit:

f(x) = sin x^2 für x<>0
f(x) = 0 für x = 0

Kann mir zufällig jemand dabei helfen, wie man bei dem ersten Teil den Differenzenquotienten anwendet. Bei mir kommt irgenswie nur Blödsinn raus.

Gruß, Lamox

20.08.2004, 17:05

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit
Hallo erstmal,

meinst du $\begin{eqnarray*} \sin^2 x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sin(x^2) \end{eqnarray*}$ ?

Jan

20.08.2004, 18:57

lamox79

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differenzierbarkeit
Ich meine Letzteres!

$\begin{eqnarray*} f(x) = sin (x^2) \end{eqnarray*}$

20.08.2004, 19:17

hummma

Auf diesen Beitrag antworten »

Des kannst mit der kettenregel ableiten. Die zweite funktion ist nicht all zu spannend ist halt die x achse und die hat die steigung 0

20.08.2004, 19:37

economic

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass man es ableiten kann, bedeutet nicht, dass es differenzierbar ist.

Soweit ich mich erinnern kann muss der Differenzenquotient
$\begin{eqnarray*} c=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
eine reelle, eindeutige Zahl sein.

20.08.2004, 20:00

kurellajunior

Auf diesen Beitrag antworten »

Differenzierbarkeit
Hallo,

Allgemein zum Verständnis: Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, dass für jede Stelle des Definitionsbereiches die Funktion genau eine Steigung hat.
Ergo muss nicht nur der Differenzenquotient
$\begin{eqnarray*} c=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
definiert sein, sondern der Wert muss bei Annäherung von links und rechts identisch sein.
$\begin{eqnarray*} c=\lim_{{x \to x_0}\atop {x>x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{{x \to x_0}\atop {x<x_0}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$
Und die Funktion muss über den Definitionsbereich definiert sein.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} \sin \left(x^2\right) \end{eqnarray*}$ ist über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ differenzierbar. (Nachweis lass ich weg, zum Vorstellen: Du kannst sie von links nach rechts ohne Knick zeichnen)
Du musst jetzt nur noch überprüfen, ob der Differenzenquotient an der Stelle x=0 existiert, und ob er von links und rechts der Gleiche ist.
Poste mal Deinen Lösungsweg, da guckt dann nochmal einer drauf. Wenns irgendwo klemmt, sag Bescheid.

Liebe Grüße, Jan

21.08.2004, 12:45

lamox79

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe folgendes angewendet:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin ((x_0 + \Delta x)^2) - \sin ((x_0)^2)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin (x_0^2 + 2x_0 \Delta x + (\Delta x)^2) - \sin (x_0^2)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sin (x_0^2) + 2\sin (x_0 \Delta x) + \sin ((\Delta x)^2) - \sin (x_0^2)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2 \sin (x_0 \Delta x) + \sin ((\Delta x)^2)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt noch durch delta x kürze und delta x gegen Null laufen lasse, erhalte ich am Ende

$\begin{eqnarray*} 2\sin (x_0) \end{eqnarray*}$

und das stimmt ja nun nicht! Hilfe

Wie hab ich denn daran zu gehen?!

P.S.: Kenne mich mit dem Formeleditor noch nicht so wirklich aus! unglücklich

edit von Mathespezialschüler: Latex-Codes verbessert.

21.08.2004, 12:48

Anirahtak

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Zum Formaleditor: \delta liefert $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und mit x_0 bekommt man $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und \sin macht $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ .

Und für fast alles andere gibt es den Formeleditor direkt unter dem Antwort-Eingabefenster.

Gruß
Anirahtak

21.08.2004, 13:00

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lamox79
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin (x_0^2 + 2x_0 \Delta x + (\Delta x)^2) - \sin (x_0^2)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sin (x_0^2) + 2\sin (x_0 \Delta x) + \sin ((\Delta x)^2) - \sin (x_0^2)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Hier ist dein Fehler!! $\begin{eqnarray*} \sin (x_0^2 + 2x_0 \Delta x + (\Delta x)^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin (x_0^2) + 2\sin (x_0 \Delta x) + \sin ((\Delta x)^2) \end{eqnarray*}$ sind nicht das gleiche!! "Sin" ist ja keine "Zahl", das heißt, du darfst nicht einfach wie sonst immer ausklammern!!!!

edit: Danach kommen auch noch weitere Fehler.

21.08.2004, 14:44

termi

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie soll das ganze dann aussehen?!

21.08.2004, 14:47

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naj, ich hätt schon ne Idee, ich würds so machen, wie ich die Kettenregel bewiesen hab, aber das hat lamox79 sicher nich gemacht.

@lamox79
Hast du noch ne andere Idee?

21.08.2004, 15:26

lamox79

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, wie die Ableitung auszusehen hat, aber ich müsste diese doch durch den Differenzenquotienten bestimmen können.

Wie meinst du denn das mit der Kettenregel?!

Und wie muss den die obige Reihe (die von mir falsch ausgeklammert wurde) aussehen.

21.08.2004, 15:39

Philipp-ER

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi lamox79.
Bist du dir sicher, dass du die Differenzierbarkeit über ganz R mit dem Differenzenquotienten nachweisen sollst und es nicht nur speziell im Nullpunkt machen musst? Ich kann mir nämlich sonst irgendwie nicht erklären, warum die Funktion so suggestiv für x=0 neu definiert wurde, obwohl der Funktionsterm für x!=0 doch vollkommen ausgereicht hätte (sin(0^2)=sin(0)=0 passt ja auch).

Der Differenzenquotient mit $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ sähe nämlich schon viel freundlicher aus und es wäre kein allzu großes Problem, seinen Grenzwert zu untersuchen.

21.08.2004, 16:22

lamox79

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ muss gesondert betrachtet werden und wenn ich dann den Differenzenquotienten bilde, komme ich zu dem Ergebnis, dass die Funktion differenzierbar ist.

Aber muss ich denn nicht auch noch zeigen, dass die Teilfunktion $\begin{eqnarray*} sin (x^2) \end{eqnarray*}$ für x<>0 diffbar ist und das mit dem Diff-quotienten?!

21.08.2004, 18:01

Bruce

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal davon aus, daß die Grenzwerte
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{\sin(h)}{h} = 1 \quad und \quad \lim_{h\to0}\frac{\cos(h)-1}{h} = 0 \end{eqnarray*}$
als bekannt vorausgesezt werden dürfen, denn üblicherweise berechnet man die Ableitungen von sin(x)
und cos(x) bevor man sich sin(x^2) vornimmt.

Beachte, daß in der nachfolgenden Rechnung das Additionstheorem
$\begin{eqnarray*} \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y) \end{eqnarray*}$
verwendet wird.

Der Differenzenquotient für 0<>x
$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\sin((x+h)^2)-sin(x^2)}{h}=\frac{\sin(x^2)(\cos((2x+h)h)-1)+\cos(x^2)\sin((2x+h)h)}{h} \end{eqnarray*}$

kann auch so geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta f}{\Delta x}=(2x+h)\sin(x^2)\frac{\cos((2x+h)h)-1}{2(x+h)h}+(2x+h)\cos(x^2)\frac{\sin((2x+h)h)}{(2x+h)h} \end{eqnarray*}$

Mit den oben angegebenen Grenzwerten folgt schließlich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=2x\,\sin(x^2)\lim_{h\to0}\frac{\cos(2xh)-1}{2xh}+2x\,\cos(x^2)\lim_{h\to0}\frac{\sin(2xh)}{2xh}=2x\cos(x^2). \end{eqnarray*}$

Im Fall x=0 gilt einfach:
$\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(h^2)}{h}= \lim_{h\to0}h\,\lim_{h\to0}\frac{\sin(h^2)}{h^2}=0*1=0 \end{eqnarray*}$ .

Für die Lösung einer Mathe-Aufgabe müßte das ganze noch ein bischen sorgfätiger formuliert werden,
aber diesen lästigen Kleinkram tue ich mir nicht an. Die Fleißarbeit soll demjenigen überlassen bleiben,
der für die Lösung Punkte oder eine gute Note haben möchte.

Viel Spaß dabei.

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit

Verwandte Themen