Argumentation ausreichend? |
02.03.2015, 19:19 | Lorde0000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Argumentation ausreichend? Undzwar geht es um folgende Aufgabe: T: R^n -> R^n T ist linear. z.z.: T ist umkehrbar -> Kern T = {0} Meine Argumentation ist sehr einfach: T ist umkehrbar => T ist bijektiv => T ist injektiv => Kern T = {0} Mein Kommilitone meint jetzt, dass man diese Folgerungen noch beweisen müsste. Was meint ihr? |
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02.03.2015, 19:23 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann man eigentlich so machen. Du kannst natürlich auch aus der Tatsache, dass es zu jedem Element genau ein mit gibt, mit die Behauptung schließen. |
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02.03.2015, 19:24 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da finde ich meine Lösung aber schöner EDIT: (ich bin der TE. hab grad mein PW vergessen) |
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02.03.2015, 19:27 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bijektiv ist nur ein anderes Wort für umkehrbar. Damit wäre die erste Implikation (sogar Äquivalenz) klar. Laut Definition ist eine Funktion bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Also folgt die zweite Implikation aus der Definition. Das einzige, was man zeigen muss, ist , was aber eigentlich auch offensichtlich ist. Edit: Zu spät... |
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02.03.2015, 19:29 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und warum muss ich genau das zeigen? ich bin wahrscheinlich etwas verwirrt, weil man da mehrere Folgerungen hat. Also man muss das wahrscheinlich zeigen, weil es "klar" ist dass aus der umkehrbarkeit die injektivität folgt. Das ist quasi ein Teild er Umkehrbarkeit. Jetzt muss man halt von der Umkehrbarkeit (über die Injektivität) auf Kern T ={0} schließen, stimmts? EDIT: Sorry, aber ist per Definition nicht T injektiv <=> Kern T = {0} ? |
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02.03.2015, 19:37 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast in deiner Argumentationskette drei Implikationen; und jede einzelne davon muss begründet werden. Für die ersten beiden und habe ich das oben schon gemacht; und die dritte Implikation ist die Aussage , weshalb das noch zu zeigen wäre.
Nein. Das folgt aus der Definition des Kerns. |
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02.03.2015, 19:38 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du Kern T = {0} => T ist injektiv? |
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02.03.2015, 19:41 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Argumentation ausreichend? Du hast doch oben geschrieben:
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02.03.2015, 19:45 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was meinst du damit? Ich dachte immer, dass T ist injektiv <=> Kern T = {0} eine zu akzeptierende Tatsache ist. Warum soll man das beweisen wenn das nicht explizit gefragt ist? |
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02.03.2015, 19:49 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt in der gesamten Mathematik keine zu akzeptierende Tatsache. Es gibt Definitionen, Sätze und Beweise. Jede Aussage muss bewiesen werden. |
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02.03.2015, 19:49 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Definition ist . Ausgehend von dieser Definition kann man zeigen, dass . |
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02.03.2015, 19:55 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK, zusammenfassend: T ist umkehrbar heißt dass T bijektiv ist. Das wiederrum heißt, dass T injektiv und surjektiv ist. Im Prinzip sind das keine Folgerungen, sondern nur äquivalente Aussagen die man nicht beweisen muss. Dass T injektiv => Kern T = {0} gilt, ist nicht äquivalent, und muss deshalb bewiesen werden. Dazu: T injektiv heißt: T(x) = T(y) <=> x = y T(x) = T(y) <=> T(x) - T(y) = 0 <=> (da T linear ist) T(x - y) = 0 => da aus der Definition der Injektivität T(x) = T(y) <=> x = y gilt, muss x = y. Also gilt stets x - y = 0 Kern T = {0} |
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02.03.2015, 19:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist kein Beweis. |
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02.03.2015, 19:59 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum nicht? |
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02.03.2015, 20:01 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du machst überhaupt keine Aussage über den Kern von T. Du stellst nur immer wieder die Definition der Injektivität vor und schreibst dann völlig unmotiviert die Behauptung dazu. |
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02.03.2015, 20:03 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie oben schon gesagt, ist Injektivität von T äquivalent zur Kern T={0}. Der Grund, warum man das zeigen muss, ist, dass das keine Definition ist, sondern eben nur eine Folgerung daraus. Dein Beweis ist etwas durcheinander, mir ist auch nicht so ganz klar, was du da zeigen wolltest. |
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02.03.2015, 20:05 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du, dass ich am Ende noch beweisen muss, warum das der Kern ist? Ist das nicht klar? |
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02.03.2015, 20:07 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habe die Definition der Injektivität genommen, habe das dann nach 0 umgestellt. Und da x und y gleich sein müssen sagt das aus, dass eine injektive Abbildung nur dann 0 sein kann, wenn T(0) gilt, da x = y <=> x - y = 0 |
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02.03.2015, 20:14 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt auch lineare Abbildungen, bei denen es außer der 0 noch andere Elemente gibt, die auf 0 abgebildet werden. Wie Elvis schon sagte, musst du in deiner Argumentation Eigenschaften des Kerns benutzen; du willst doch die Äquivalenz zeigen. |
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02.03.2015, 20:20 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt steh ich aufm Schlauch. Ich sehe zwar jetzt ein, dass ich Falsch lag, aber verstehe ich noch nicht wie ich das sonst lösen soll . Das einzige was mir noch einfällt ist, dass man so zwar argumentiert, dann aber noch zeigen muss, dass 0 das einzige Element ist. Aber ich glaube nicht dass das so geht. Könnt ihr mir nen Tipp geben? |
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02.03.2015, 20:29 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fangen wir mal mit an. Wir setzen also voraus, dass ist und wollen daraus schlussfolgern, dass dann injektiv ist. Angenommen, und sind zwei beliebige Elemente aus und es gilt . Dann ist , und wegen der Linearität . Kannst du jetzt begründen, warum daraus die Injektivität von folgt? (Beachte die Voraussetzung über den Kern) |
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02.03.2015, 20:32 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, weil 0 ein Element der Kerns ist, und x - y = 0 nur gitl wenn x = y ist. und das ist die Definition der Injektivität. also T(x) = T(y) <=> x = y |
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02.03.2015, 20:36 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wichtig ist die Tatsache, dass 0 das einzige Element des Kerns ist. Deswegen muss x-y=0 sein, und damit x=y. |
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02.03.2015, 20:37 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, das sehe ich ein. Aber hat mein Beweis nicht genau das selbe ausgesagt, nur halt andersrum? |
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02.03.2015, 20:46 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meinst du mit "andersrum" die Aussage ? Einen Beweis dafür konnte ich nicht wirklich erkennen (und Elvis scheinbar auch nicht). Diese Richtung beweist man so: Wir setzen voraus, dass T injektiv ist. Dass die 0 im Kern enthalten ist, ist klar (eine lineare Abbildung bildet immer 0 auf 0 ab). Würde der Kern noch ein weiteres Element enthalten, würde ja auch dieses auf 0 abgebildet werden. D.h. wir hätten dann zwei Elemente, die auf 0 abgebildet werden. Das kann aber nicht sein, weil T injektiv ist. Der Kern kann also außer 0 kein weiteres Element enthalten. |
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02.03.2015, 20:51 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also in etwa so? 0 Element von Kern T und T ist injektiv => Kern T = {0} Also wenn man das formal aufschreiben will. |
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02.03.2015, 20:53 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso willst du noch voraussetzen? Das gilt doch sowieso für alle linearen Abbildungen. |
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02.03.2015, 21:01 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein ich meine, dass ich die Tatsache aufschreibe, dass 0 ein Element von Kern T ist, und das T injektiv ist. Und dass das dann der Beweis ist, dass die Folgerung stimmt. So habe ich zumindestens deine Beweisführung verstanden |
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03.03.2015, 09:02 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann hast du das eben falsch oder gar nicht verstanden. Lies es so oft , bis du es verstehst. |
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03.03.2015, 09:48 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich finde schon, dass er hier gezeigt hat, dass gilt: . Man kann ja gemäß den aufgeführten Äquivalenzen die Bedingung der Injektivität schreiben als , also . Denn für folgt . |
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03.03.2015, 12:13 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab das jetzt nochmal bewiesen, undzwar zur Übung auch "von beiden Seiten". Also a) T ist injektiv -> Kern T = {0} und b) Kern T = {0} -> T ist injektiv zu a): T(0) = 0 Sei v Element von Kern T => T(v) = 0 da T injektiv ist, muss v = 0 sein => Kern T = {0} zu b): Sei T(u) = T(v) => T(u) - T(v) = 0 <=> T(u-v) = 0 => (u-v) Element von Kern T und da Kern T = {0} => (u-v) = 0 bzw u = v => T(u) = T(v) => u = v => T ist injektiv. Also den Beweis von b) finde ich "schön". Bei a) bin ich mir da schon nicht mehr so sicher, da ich da "einfach" hinschreibe "da T injektiv ist". Muss ich da nicht irgendwas aus der Definition der Injektivität benutzen? |
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03.03.2015, 12:19 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, das sieht doch schon viel besser aus. Wenn du das bei a) noch genauer begründen willst, könntest du folgendes schreiben: So besser? |
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