Funktionenscharen

02.03.2015, 20:51	Evelyn17	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenscharen Hallo ihr Lieben!! Ich hab eine ganz wichtige Frage. Besprechen geraden Funktionenscharen - hab auch eigentlich alles wohl verstanden, aber die Fallunterscheidung irgendwie noch nicht bis ins letzte Detail. Es geht beispielsweise um die Funktion f(x) = x^4 - ax^2. Mögliche Extrema bei x = 0 und bei x = Wurzel (1/2a) x = - Wurzel (1/2a). Alles gut soweit. Ich habe auch verstanden, dass ich bei der FAllunterscheidung a < 0 für die Wurzelstellen nicht überprüfen muss, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann. a muss also größer Null sein. Unsere Lehrerin meinte jetzt aber, dass wir für a = 0 das nicht überprüfen müssten. Das verstehe ich überhaupt nicht. Das müsste man doch trotzdem, oder? Ich verstehe irgendwie nicht, warum man dann theoretisch die Wurzel aus a/2 noch überprüfen muss. Für a = 0 ergibt sich doch eben nur die Stelle x = 0, die ich oben ja auch schon raus hatte. Oder habe ich dann trotzdem 3 mögliche Extrema? Nur bei der Überprüfung mit der 2. Ableitung könnte ich für a = 0 keine Aussage treffen und müsste das mit der dritten Ableitung überprüfen. Die ist leider 24x. Was soll mir das dann sagen? 24x ist ja nicht ungleich Null, außer für x ungleich Null? Ich bin mega verwirrt. Wäre klasse, wenn jemand helfen könnte. ... Ach so, das letzte hab ich, glaub ich. Da müsste man dann ja noch für x wieder die mögliche Extremstelle einsetzen, 24(Wurzel a/2), was für a = 0 ja aber Null wäre. Hätte man also an der Stelle Wurzel a/2 für a = 0 nichts? Zwei Beiträge zusammengefasst, damit Antwortzähler wieder auf Null steht. Steffen
03.03.2015, 00:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Funktionenscharen ist in der Regel die Ursprungsmenge des Scharparameters a angegeben, sodass Fallunterscheidungen nur innerhalb dieser durchzuführen sind. Der Fall $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ kann - wenn nicht anders angegeben - durchaus eintreten und wir werden diesen gleich vorab abhandeln, denn dann lautet die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x^4 \end{eqnarray}$ Diese Funktion kannst du nun ganz normal diskutieren .. (es ist kein Parameter mehr darin) ------------- Für die anderen Fälle bilde jetzt alle Ableitungen, bis zur 4. Ableitung $\begin{eqnarray} f(x) = x^2(x^2-a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 2x(2x^2-a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = 2(6x^2 - a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = 24x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^{IV}(x) \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Fall: $\begin{eqnarray} a > 0 \end{eqnarray}$ Hier sind Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Flachpunkte eindeutig bestimmbar. ------------ Fall: $\begin{eqnarray} a < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Das mache mal alleine weiter .. Was bemerkst du, wenn du die Klammerausdrücke Null setzt? mY+
03.03.2015, 06:24	Evelyn17	Auf diesen Beitrag antworten »
Tausend Dank für deine Antwort. Heißt das also, dass ich immer eigentlich schon direkt schauen kann, ob in der Funktionsgleichung was wegfällt, wenn a = 0 ist (müsste ja eigentlich immer so sein) und diese Funktion dann "behandeln"? Oder mache ich alles ganz normal und wenn ich dann bei der FAllunterscheidung bin betrachte ich dann die Funktion und schaue was wegfällt? Hier müsste ich dann ja theoretisch nochmal x^4 komplett untersuchen, oder? Und wenn ich das ausrechne, kam da ja der Ausdruck unter der Wurzel raus. Da kann dann ja nicht a <0 sein, aber doch theoretisch a=0. In der Lösung hat sie aber immer nur von a>0 gesprochen. Wenn das so wäre, hätte ich ja auch nie den Fall, dass wie oben erwähnt ich nur noch x^4 betrachten muss. Würde mich über weitere HIlfe sehr freuen....
03.03.2015, 18:42	Evelyn17	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe das heute nochmal durchdacht, leider aber immer noch eine Frage. Also ich habe 3 mögliche Extrema bei x = 0 und x = + - Wurzel (a/2). Zunächst betrachte ich x = 0. Bei x = 0 liegt für a > 0 ein HP und für a< 0 ein TP vor. a = 0 ist irgendwie mein großes Problem. Ich kann mir einmal den Funktionsterm direkt anschauen und sehe, das nur noch x^4 übrigbleibt und könnte eine Kurvendiskussion für diesen Fall machen. Oder? Oder kann ich auch einfach in der Fallunterscheidung bleiben und bei der hinreichenden Bedingung quasi rechnen: f´´(0) = -2a (für a = 0 ist das 0). Also kann ich das hinreichende Kriterium nicht anwenden. Ich kann auch leider nicht mit der 3. Ableitung überprüfen, ob ein Sattelpunkt vorliegt, da die 3. Ableitung f´´´(x) = 24 x ist und bei x = 0 auch Null ist. Muss ich jetzt mit den VZW argumentieren oder kann ich sagen, weil sie nicht ungleich Null ist sondern gleich Null ist liegt ein Extrema vor? Ich weiß aber nicht welches, also bräuchte ich doch mein VZW, oder? Kommen wir zu der Wurzel. Ich weiß, dass a nicht negativ sein kann wegen der Wurzel. Ich betrachte also für die Wurzel-Extrema nur a > 0 zunächst. Da kommt dann für beide ein TP raus. Für a < 0 ist die Wurzel nicht definiert und ich hätte nur das Extrema bei x = 0. Müsste ich jetzt für die Wurzelstellen überhaupt noch a = 0 überprüfen? Ich habe das doch oben schon gemacht und entsprechend würde ja auch hier nur f(x) = x^4 übrigbleiben bzw. f``(Wurzel(a/2) = 4a = 0 ist doch dasselbe wie f´´(0) = 0 also der obige Fall, oder? ahhhhh....Hilfe.... Bitte
03.03.2015, 21:25	Evelyn17	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will nicht nerven, ist aber so wichtig. Wäre für jede Hilfe sooooo dankbar....
04.03.2015, 00:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, wegen eines Fehlers im Browser konnte ich deine Beiträge nicht früher sehen .. Ich kann nicht verstehen, warum du nicht so vorgehen willst, wie in meinem Beitrag beschrieben. Warum schleppst du die "a = 0 Frage" durch alle Instanzen, und verwirrst dich damit selbst, wenn du doch diesen Fall von vornherein behandeln und danach ausschließen (!) kannst? Ausserdem habe ich dir auch schon die Ableitungen hingeschrieben (was eigentlich nicht boardkonform ist), dabei kannst du schon viel herauslesen. Arbeite also einfach die drei Fälle hintereinander ab: $\begin{eqnarray} 1. \ a = 0 \ \to \ f(x) = x^4 \end{eqnarray}$ --> normale K'diskuss. $\begin{eqnarray} 2. \ a > 0 \end{eqnarray}$ --> Kurvendiskussion mit positivem a liefert überall reelle Werte, wie schon beschrieben $\begin{eqnarray} 3. \ a < 0 \end{eqnarray}$ --> Überall dort, wo $\begin{eqnarray} \sqrt a \end{eqnarray}$ auftaucht, gibt es einfach keine Lösung In diesem Fall gibt es nur ein Extremum bei x = 0 (welches?), ansonsten keine weiteren Extrema Und keinen Wendepunkt (warum?) Das Extremum ist gleichzeitig Flachpunkt (warum?) ----------- Ist dir das jetzt besser klar geworden? mY+
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04.03.2015, 20:16	Evelyn17	Auf diesen Beitrag antworten »
Tausend Dank.... Genau das war meine Frage. Ich wusste nicht, ob ich für a = 0 das quasi getrennt betrachten kann bzw. vorweg diskutiere und dann bei den anderen Extremstellen immer nur noch a<0 bzw. a>0 betrachten muss oder ob ich das an allen Extremstellen nochmal machen muss. War da irgendwie verwirrt und einfach unsicher. Aber ist ja eigentlich klar, dass wenn a = 0 ist der Teil der Funktionsgleichung wegfällt und ich dann ja so oder so die anderen Extremstellen z.T. nicht mehr vorfinde. Super lieben Dank für deine Hilfe....
04.03.2015, 21:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das ist erfreulich. Man kann die 3 Fälle auch gut plotten, um eine ungefähre Vorstellung des Verlaufes zu bekommen. Setzen wir nacheinander a = 0, a = 4, a = -4 mY+

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