Unendliche Folgen

02.03.2015, 21:33

butterblume8877

Unendliche Folgen

Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe, an der ich mehr oder weniger Verzweifle.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{ln(3x²+x-2)}{2x} \end{eqnarray*}$

Haber es mit $\begin{eqnarray*} e^{ln{\frac{ln(3x²+x-2)}{2x}}} <=> e^{ln(ln(3x²+x-2)-ln(2x))} \end{eqnarray*}$ <=> ... funktioniert nicht.

Weitere Auflösung schlug fehl.

Für eine Lösung wäre ich dankbar.

02.03.2015, 21:39

bijektion

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Was ist überhaupt die Aufgabe?

02.03.2015, 21:47

butterblume8877

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einfach umstellen und gegen unendlich laufen zu lassen ohne, dass es gegen die Unbestimmte Ausdrücke verstöst.
Z.Z. ist es $\begin{eqnarray*} "{\infty}/{\infty}" \end{eqnarray*}$

02.03.2015, 22:08

bijektion

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Ist mir immer noch nicht klar. Entweder es ist $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\log(3x²+x-2)}{2x} \end{eqnarray*}$ , damit wäre der Grenzwert trivial, oder du hast es falsch aufgeschrieben.

Soetwas wie

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{ln(3x²+x-2)}{2x} \end{eqnarray*}$

macht im allgemeinen keinen Sinn.

Aus deinen Ausführungen schließe ich, dass es um den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{\log(3x²+x-2)}{2x} \end{eqnarray*}$ geht?

02.03.2015, 22:18

butterblume8877

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Nein, ich hab es schon richtig aufgeschrieben. Es soll der natürliche Logarithmus verwendet wereden.
Wobei ich was anderes falsch aufgeschrieben habe.

So ist die Aufgabe, die der Prof uns gegeben hat.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{ln(3x²+x-2)}{2x} \end{eqnarray*}$

02.03.2015, 22:26

bijektion

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Ja, ich schreibe immer $\begin{eqnarray*} \log=\ln \end{eqnarray*}$ . Trotzdem ist es nicht richtig, sonst wäre $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{\log(3x²+x-2)}{2x} \end{eqnarray*}$ eine Möglichkeit, falls eine geeignete Folge gesucht würde.

Geht es um $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{\log(3x²+x-2)}{2x} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

02.03.2015, 22:29

butterblume8877

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Richtig!

Natürlich x statt n gegen unendlich.

02.03.2015, 22:41

bijektion

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Ok. Für hinreichend großes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3x^2+x-2<4x^2 \end{eqnarray*}$ , der Logaritmus steigt monoton und der ganze Ausdruck ist für große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nichtnegativ.

Schätze also $\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{\log(3x²+x-2)}{2x} \leq \frac{\log 2 +\log x}{x} \end{eqnarray*}$ ab und du erhälst dein Ergebnis.
Du musst natürlich noch die Zwischenschritte geeignet abschätzen.

02.03.2015, 22:45

butterblume8877

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OK. Also muss ich abschätzen. Ich danke Dir! vor allem für die Geduld.

06.03.2015, 15:04

butterblume8877

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Die Lösung ist noch einfacher :/

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{\log(3x²+x-2)}{2x} <=> lim_{x\to\infty}\frac{\log(x²(3+\frac{x}{x²}-\frac{2}{x²})}{2x} <=> lim_{x\to\infty}\frac{\log(x²) + \log (3+\frac{1}{x}-\frac{2}{x²})}{2x} <=> lim_{x\to\infty}\frac{\log(x²)}{2x} + \frac{\log (3+\frac{1}{x}-\frac{2}{x²})}{2x} <=> lim_{x\to\infty}\frac{2\log(x)}{2x} + \frac{\log (3+\frac{1}{x}-\frac{2}{x²})}{2x} \to{x\to\infty} 0+\frac{log(3+0-0)}{\infty}=0 \end{eqnarray*}$

06.03.2015, 15:34

bijektion

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Ob das nun einfach ist, darüber kann man sich jetzt streiten. Im übrigen ist das hier keine Äquivalenz.

06.03.2015, 16:42

butterblume8877

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Hast wieder Recht. Einfaches Gleich.

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