Doppelpost! Steigung senkrechter Geraden |
| 03.03.2015, 10:14 | EU | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Steigung senkrechter Geraden Hallo zusammen, warum gilt, daß das Produkt der Steigungen zweier zueinander senkrechter Geraden g1 und g2 gleich - 1 ist? m1 * m2 = -1 Habe versucht, das zu beweisen und wollte Euch fragen, ob mein Beweis so richtig ist. Meine Ideen: Ich zeichne die Gerade g1 mit Steigungsdreieck in das Koordinatensystem. Drehe ich die Gerade mit Steigungsdreieck um 90 ° z.B. nach rechts, so erhalte ich eine zu g1 senkrechte Gerade g2. Vergleicht man die beiden Steigungsdreiecke von g1 und g2, so stellt man fest, daß diese kongruent sind (sie sind ja durch Drehung auseinander hervorgegangen und bei einer Drehung bleiben alle Maße und Winkel einer Fläche erhalten, nur die Lage ändert sich). Wegen der Kongruenz der beiden Steigungsdreiecke gilt für die Beträge der Dreiecksseiten Delta y und Delta x: |Delta y1| = |Delta x2| |Delta x1| = |Delta y2| |Delta y1| und |Delta x1| seien die Beträge der Kathetenlängen des Steigungsdreiecks von g1 |Delta y2| und |Delta x2| seien die Beträge der Kathetenlängen des Steigungsdreiecks von g2 Man kann also die Betragsgleichung aufstellen: (|Delta y1|) / (|Delta x1|) = (|Delta x2|) / (|Delta y2|) Da Delta y / Delta x = Steigung m und Delta x / Delta y = 1/m kann man für die Beträge der Steigungen m1 und m2 auch schreiben: |m1| = |1/m2| |m1| = |1| / |m2| Gleichung mit |m2| multiplizieren: |m1| * |m2| = |1| Da |1| = 1, kann man statt |1| auch einfach 1 schreiben: |m1| * |m2| = 1 Jetzt muß noch gezeigt werden, daß vor die 1 ein Minus gehört und die Betragszeichen müssen weg: Da g1 und g2 senkrecht zueinander stehen, hat die eine Gerade stets eine positive Steigung, während die andere eine negative Steigung hat, so daß das Produkt m1 * m2 stets negativ sein muß ( " Plus mal Minus gleich Minus"). Ausnahme: Die beiden Geraden verlaufen parallel zur x- und y- Achse, dann hat die zur x-Achse parallele gerade die Steigung 0 und die zur y-Achse parallele gerade die Steigung "Unendlich". Das Produkt der Steigungen wäre dann 0 mal "Unendlich". Was das ist, weiß ich leider nicht, ich glaube es ergibt 0 wegen dem Satz vom Nullprodukt. Da also das Produkt von m1 und m2 negativ sein muß (wegen " Plus mal Minus gleich Minus", ergibt sich: m1 * m2 = -1 Könntet Ihr mir bitte sagen, ob das so eine korrekte Beweisführung ist? Vielen Dank!!!!! |
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| 03.03.2015, 10:41 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
2 Threads sind dafür aber nicht notwendig, hier wird geschlossen, drüben gehts weiter. |
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