Steigung senkrechter Geraden

03.03.2015, 10:17

Dr. Schlau-Berger

Steigung senkrechter Geraden

Meine Frage:
Hallo zusammen,

warum gilt, daß das Produkt der Steigungen zweier zueinander senkrechter Geraden g1 und g2 gleich - 1 ist?

m1 * m2 = -1

Habe versucht, das zu beweisen und wollte Euch fragen, ob mein Beweis so richtig ist.

Meine Ideen:
Ich zeichne die Gerade g1 mit Steigungsdreieck in das Koordinatensystem.
Drehe ich die Gerade mit Steigungsdreieck um 90 ° z.B. nach rechts, so erhalte ich eine zu g1 senkrechte Gerade g2.
Vergleicht man die beiden Steigungsdreiecke von g1 und g2, so stellt man fest, daß diese kongruent sind (sie sind ja durch Drehung auseinander hervorgegangen und bei einer Drehung bleiben alle Maße und Winkel einer Fläche erhalten, nur die Lage ändert sich).
Wegen der Kongruenz der beiden Steigungsdreiecke gilt für die Beträge der Dreiecksseiten Delta y und Delta x:

|Delta y1| = |Delta x2|

|Delta x1| = |Delta y2|

|Delta y1| und |Delta x1| seien die Beträge der Kathetenlängen des Steigungsdreiecks von g1

|Delta y2| und |Delta x2| seien die Beträge der Kathetenlängen des Steigungsdreiecks von g2

Man kann also die Betragsgleichung aufstellen:

(|Delta y1|) / (|Delta x1|) = (|Delta x2|) / (|Delta y2|)

Da Delta y / Delta x = Steigung m und

Delta x / Delta y = 1/m

kann man für die Beträge der Steigungen m1 und m2 auch schreiben:

|m1| = |1/m2|

|m1| = |1| / |m2|

Gleichung mit |m2| multiplizieren:

|m1| * |m2| = |1|

Da |1| = 1, kann man statt |1| auch einfach 1 schreiben:

|m1| * |m2| = 1

Jetzt muß noch gezeigt werden, daß vor die 1 ein Minus gehört und die Betragszeichen müssen weg:

Da g1 und g2 senkrecht zueinander stehen, hat die eine Gerade stets eine positive Steigung, während die andere eine negative Steigung hat, so daß das Produkt m1 * m2 stets negativ sein muß ( " Plus mal Minus gleich Minus").
Ausnahme: Die beiden Geraden verlaufen parallel zur x- und y- Achse, dann hat die zur x-Achse parallele gerade die Steigung 0 und die zur y-Achse parallele gerade die Steigung "Unendlich".
Das Produkt der Steigungen wäre dann 0 mal "Unendlich". Was das ist, weiß ich leider nicht, ich glaube es ergibt 0 wegen dem Satz vom Nullprodukt.

Da also das Produkt von m1 und m2 negativ sein muß (wegen " Plus mal Minus gleich Minus", ergibt sich:

m1 * m2 = -1

Könntet Ihr mir bitte sagen, ob das so eine korrekte Beweisführung ist?

Vielen Dank!!!!!

03.03.2015, 10:18

Iorek

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2 Threads sind dafür nicht notwendig, hier wird geschlossen, drüben gehts weiter.

03.03.2015, 14:17

mYthos

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Iorek meinte wohl, hier bleibt offen und drüben ist geschlossen.

mY+

03.03.2015, 14:32

mYthos

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RE: Steigung senkrechter Geraden
So weit stimmt der Beweis.
Du kannst ihn auch analytisch, über die Formel des Schnittwinkels

$\begin{eqnarray*} \tan \varphi = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2} \end{eqnarray*}$

führen (der tan muss hier gegen Unendlich gehen) oder auch vektoriell abhandeln:

Die Richtungsvektoren sind (1; m1) und (1; m2) und deren skalares Produkt ist Null.

Zitat:

Original von Dr. Schlau-Berger
...
Ausnahme: Die beiden Geraden verlaufen parallel zur x- und y- Achse, dann hat die zur x-Achse parallele gerade die Steigung 0 und die zur y-Achse parallele gerade die Steigung "Unendlich".
Das Produkt der Steigungen wäre dann 0 mal "Unendlich". Was das ist, weiß ich leider nicht, ich glaube es ergibt 0 wegen dem Satz vom Nullprodukt.
...

"0 mal unendlich" ist eine unbestimmte Form und keineswegs immer Null. Hier hat sie sogar den Wert -1, weil dies ein Grenzwert ist.
Bei Grenzwertberechnungen kommt es oft zu unbestimmten Formen, wie $\begin{eqnarray*} [0 \cdot \infty], \ [\frac 0 0], \ [\frac{\infty}{\infty}], \ [\infty - \infty] \end{eqnarray*}$
Die Lösung ist dann, diese unbestimmten Formen so umzustellen, dass das Grenzwertverhalten sicher berechnet werden kann.

mY+

03.03.2015, 14:42

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Super!!!

Vielen Dank für Deine sehr hilfreiche und ausführliche Antwort Freude