Inverse von Klasse berechnen

03.03.2015, 10:36

chillerStudent

Inverse von Klasse berechnen

Hallo,

ich möchte das Inverse von $\begin{eqnarray*} [3]_{13} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{13} = \mathbb Z/13 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Ich habe es mit der erweiterten Eulerfunktion versucht:

$\begin{eqnarray*} 13:3=4 R1 \end{eqnarray*}$ also ist $\begin{eqnarray*} 1=1*(13)-4*(3) \end{eqnarray*}$

Dann ist doch das Inverse $\begin{eqnarray*} [3]^{-1}=[-4] \end{eqnarray*}$ oder??

In der Lösung steht aber $\begin{eqnarray*} [3]^{-1}=[9] \end{eqnarray*}$ Warum?

03.03.2015, 10:38

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} 9\equiv -4\mod 13 \end{eqnarray*}$ smile

03.03.2015, 11:20

chillerStudent

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Also ist die Schreibweise $\begin{eqnarray*} [3]^{-1}=[-4] \end{eqnarray*}$ flasch?

03.03.2015, 11:22

10001000Nick1

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Nein, es ist $\begin{eqnarray*} [-4]=[9] \end{eqnarray*}$ . Beides wäre also richtig.

03.03.2015, 18:28

chillerStudent

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Ist das Inverse von $\begin{eqnarray*} [202] in Z/653 -129 \end{eqnarray*}$ ??

und

$\begin{eqnarray*} -129mod653\equiv 524 \end{eqnarray*}$ ??

Gibt es einen online rechner für das Berechnen des Inverses?

03.03.2015, 18:39

10001000Nick1

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Rechner: http://public.hochschule-trier.de/~knorr...ivesInverse.php

Damit kannst du überprüfen, dass $\begin{eqnarray*} [-129] \end{eqnarray*}$ nicht stimmt. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} [-139] \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} [514] \end{eqnarray*}$ ).

03.03.2015, 18:46

chillerStudent

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Asoo ja ich meinte -139, hatte falsch abgeschrieben Hammer

So ein Rechner hab ich gesucht!
Danke Danke!!

03.03.2015, 19:16

chillerStudent

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Wie überprüfe ich ob eine Einheit vorliegt bei dieser Restklasse und wie berechne ich das Inverse hier:

$\begin{eqnarray*} 35+100Z \end{eqnarray*}$

Eine Einheit liegt ja vor wenn die Restklasse teilerfremd zu 100Z ist. Reicht es wenn ich hier überprüfe ob 35 teil 100 ?

Bei Inverse hab ich gerade keine Ahnung... verwirrt

03.03.2015, 19:30

10001000Nick1

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Eine Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine Einheit bzgl. eines Moduls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (und damit invertierbar), wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind, d.h. wenn $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,n)=1 \end{eqnarray*}$ .

35 und 100 sind offensichtlich nicht teilerfremd, deswegen ist 35 keine Einheit modulo 100 und auch nicht invertierbar.

03.03.2015, 23:05

chillerStudent

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Das heißt, bei der Aufgabe $\begin{eqnarray*} 21+100Z \end{eqnarray*}$ könnte man das Inverse berechnen:

Also $\begin{eqnarray*} [21]^{-1}=[-19] \end{eqnarray*}$

Warum reicht es denn bei solcher Aufgabe einfach 21 zu nehmen? Was ist die Theorie dahinter?
Weil $\begin{eqnarray*} [21]_{100} \end{eqnarray*}$ ist ja etwas anderes als $\begin{eqnarray*} 21+100Z \end{eqnarray*}$ oder?

04.03.2015, 02:18

10001000Nick1

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Zitat:

Original von chillerStudent
Warum reicht es denn bei solcher Aufgabe einfach 21 zu nehmen?

Was genau meinst du mit der Frage? Wo nimmt man nur die 21?

Zitat:

Original von chillerStudent
Weil $\begin{eqnarray*} [21]_{100} \end{eqnarray*}$ ist ja etwas anderes als $\begin{eqnarray*} 21+100Z \end{eqnarray*}$ oder?

Nein, beides bezeichnet die Menge $\begin{eqnarray*} \{21+100k\ |\ k\in\mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$ .

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