Beweis lineare Unabhängigkeit, Linearkombination

03.03.2015, 10:43

Sophie23

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Beweis lineare Unabhängigkeit, Linearkombination

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll folgende Aussage beweisen, komme aber irgnendwie nicht weiter.
Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{x_{1} } und \vec{x_{2} } \in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$
zwei beliebige linear unabhängige Vektoren des $\begin{eqnarray*} R ^{2} \end{eqnarray*}$ sind, dann lässt sich jeder Vektor des $\begin{eqnarray*} R ^{2} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \vec{x_{1} } und \vec{x_{2} } \end{eqnarray*}$ darstellen.

Meine Ideen:
Die Voraussetzung wäre ja das $\begin{eqnarray*} \lambda _{1} x_{1} + \lambda _{2} x_{2} = \vec{0} \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} \lambda _{1}, \lambda _{2} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich weiß nur nicht wie ich dise Voraussetzung jetzt auf den Beweis anwende...

03.03.2015, 10:54

klarsoweit

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RE: Beweis lineare Unabhängigkeit, Linearkombination
Nimm einen beliebigen Vektor u aus R² und zeige, daß sich dieser als Linearkombination aus x_1 und x_2 darstellen läßt.

03.03.2015, 10:57

sixty-four

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RE: Beweis lineare Unabhängigkeit, Linearkombination
Wenn $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Vektor ist, dann musst du zeigen, dass unter deiner Voraussetzung die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \lambda_1\vec{x_1}+\lambda_2\vec{x_2} \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung besitzt. Die Gleichung führt auf ein lineares Gleichungssystem von 2 Gleichungen mit 2 Variablen. Wann ist das eindeutig lösbar?

03.03.2015, 11:19

Sophie23

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mmhh... irgendwie habe ich grade total Probleme zu sehen wie das LGS dann aussieht verwirrt

verwirrt

03.03.2015, 11:30

sixty-four

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$\begin{eqnarray*} \vec{x_1}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}<br /> \vec{x_2}=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}<br /> \vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt rechne $\begin{eqnarray*} \lambda_1\vec{x_1}+\lambda_2 \vec{x_2} \end{eqnarray*}$ aus und setze es mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ gleich. Dann hast du ein Gleichungssystem zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \text{ und } \lambda_2 \end{eqnarray*}$ .

03.03.2015, 11:39

Sophie23

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AH okay also sieht mein LGS dann so aus:
$\begin{eqnarray*} <br /> x = \lambda _{1} x_{1} + \lambda _{2} x_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> y = \lambda _{1} y_{1} + \lambda _{2} y_{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich do jetzt mit der Voraussetzung dass $\begin{eqnarray*} \lambda _{1} , \lambda _{2} = 0 \end{eqnarray*}$ argumentiere bekomme ich ja x,y = 0... Aber was bringt mir das für den Beweis...

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03.03.2015, 11:58

sixty-four

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So kannst du nicht argumentieren, denn x und y sind nicht zwangsläufig 0. Es sind beliebige Zahlen, die zwar auch 0 sein können, das ist aber nicht vorausgesetzt. Du musst dir jetzt überlegen unter welcher Bedingung ein solches Gleichungssystem genau eine Lösung besitzt und was das mit der linearen Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \text{ und } \vec{x}_2 \end{eqnarray*}$ zu tun hat.

Ein Frage von mir: Kennst du den Begriff der Determinante?

03.03.2015, 12:06

Sophie23

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Ja Determinanten sind mir ein Begriff aber ich wüsste nicht wie ich das hierauf anwenden könnte...

03.03.2015, 12:08

Sophie23

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AH moment ich muss doch dann nur schauen wann die Determinante ungleich 0 ist , oder?

03.03.2015, 12:10

sixty-four

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Welcher Zusammenhang besteht zwischen der eindeutigen Lösbarkeit eines Gleichungssystems von 2 Gleichungen mit 2 Variablen und dem Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix?

03.03.2015, 12:10

sixty-four

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Zitat:

Original von Sophie23
AH moment ich muss doch dann nur schauen wann die Determinante ungleich 0 ist , oder?

Genau.

03.03.2015, 12:21

Sophie23

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Also die Koeffizientenmatrix sieht ja dann so aus, oder?
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} \lambda _1 & \lambda _2 & x \\ \lambda _1 & \lambda _2 & y \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

03.03.2015, 12:35

sixty-four

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Nein, das ist nicht richtig. Die Lambdas sind die Variablen. Die Determinante der Koeffizientenmatrix wäre

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dein Gleichungssystem hat also immer dann genau eine Lösung, wenn diese von 0 verschieden ist. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass das gleichbedeutend damit ist, dass $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \text{ und } \vec{x}_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

03.03.2015, 13:09

Sophie23

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Okay ... verstehe nur nicht so ganz warum ich Lambda als Variablen nehme.

Wenn ich jetzt die Determinante ausrechne bekomme ich:
x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \neq 0

03.03.2015, 13:12

Sophie23

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Okay ... verstehe nur nicht so ganz warum ich Lambda als Variablen nehme.

Wenn ich jetzt die Determinante ausrechne bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \neq 0 <br /> \end{eqnarray*}$

03.03.2015, 13:36

sixty-four

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Zitat:

Original von Sophie23
Okay ... verstehe nur nicht so ganz warum ich Lambda als Variablen nehme.

Weil du alles andere kennst. Du hast 2 Basisvektoren und einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ dieser ist zwar beliebig, aber wenn du einen gewählt hast, ist er fest.
Und nun willst du eine Linearkombination ermitteln und diese Aufgabe besteht nun mal darin, geeignete Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ zu finden, so dass die Linearkombination aus den Basisvektoren dem vorgegebenen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ entspricht.

Als nächster Schritt kommt jetzt der Nullvektor ins Spiel. Du weißt, dass eine Linearkombination aus $\begin{eqnarray*} \vec{x}_1 \text{ und } \vec{x_2} \end{eqnarray*}$ , die den Nullvektor ergibt nur dann erfüllt sein kann, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \text{ und } \lambda_2 \end{eqnarray*}$ beide 0 sind (denn das bedeutet die lin. Unabhängigkeit) . Das heißt, dass das entsprechende Gleichungssystem nur die Triviallösung hat und keine andere. Das Gleichungssystem sieht aber genauso aus, wie das, was du vorhin für einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ aufgestellt hast, nur dass jetzt auf der rechten Seite zwei Nullen stehen.

Jetzt nochmal die Frage: Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung?
Wenn...

03.03.2015, 14:02

Sophie23

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Ah okay, soweit schonmal verstanden smile

smile

Jetzt muss ja die Determinante von der Koeffizientenmatrix ungleich 0 sein, also:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \neq 0 <br /> \end{eqnarray*}$

Aber wie mache ich jetzt weiter? Muss ich das noch umstellen?

03.03.2015, 14:29

sixty-four

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Zitat:

Original von Sophie23
Ah okay, soweit schonmal verstanden smile

smile

Jetzt muss ja die Determinante von der Koeffizientenmatrix ungleich 0 sein, also:
$\begin{eqnarray*} <br /> x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} \neq 0 <br /> \end{eqnarray*}$

Aber wie mache ich jetzt weiter? Muss ich das noch umstellen?

Nein, du brauchst die Determinante auch gar nicht auszurechnen. Du bist bereits fertig mit dem Beweis. Du solltest zeigen: Wenn du zwei linear unabhängige Vektoren hast, dann ist jeder beliebige Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ als Linaearkombination dieser beiden eindeutig darstellbar.

Du kannst jetzt so argumentieren:
Da das homogene Gleichungssystem (wo auf der rechten Seite nur Nullen stehen), genau eine (nämlich die triviale) Lösung hat, muss die Koeffizientenmatrix von 0 verschieden sein. Ansonsten gäbe es nicht nur die eine Lösung. Das ist aber auch genau die Bedingung die erfüllt sein muss, damit das inhomogene System auch eindeutig lösbar ist.

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