Beschränktheit

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Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit
Hallo,

ich habe Probleme mit der Beschränktheit von Folgen. Ich betrachte hier die Folge:

Spontan würde ich hingehen und sagen:
In der Vorlesung habe wir schon bewiesen, dass gegen konvergiert, also beschränkt ist. Folglich konvergiert auch gegen und die Folge ist nach oben hin durch 1 beschränkt. Was wir in der Vorlesung hatten, darf ja auch verwendet werden.

Jetzt haben wir aber in der Übung besprochen:





Wieso soll die Folge unbeschränkt sein, sie geht doch klar nicht über 1 hinaus?
Das ist ja ausgedacht, aber wie komme ich darauf? Es ist ja offensichtlich so gewählt, dass sich die im Nenner weg kürzt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit
Zitat:
Original von Lukases2
Wieso soll die Folge unbeschränkt sein, sie geht doch klar nicht über 1 hinaus?

Nun ja, über 1 geht sie schon hinaus, wie man mit n=1 sieht. smile

Zitat:
Original von Lukases2
Jetzt haben wir aber in der Übung besprochen:


Wurde da vielleicht eine andere Folge besprochen?
 
 
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, die Folge wird natürlich nie kleiner als 1. Aber trotzdem ist sie doch beschränkt, halt nach unten hin, oder nicht?

Zitat:
Wurde da vielleicht eine andere Folge besprochen?

Nein. Eigentlich ist Beschränktheit ja so definiert:

Gilt das dann nicht nur für nach oben hin beschränkte Folgen? Wenn eine Folge nach unten beschränkt ist, werden doch seine Werte nie kleiner als
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Wurde da vielleicht eine andere Folge besprochen?

Nicht nur "vielleicht": In der Rechnung dazu taucht ja plötzlich auf - wieso? Ich denke, es geht um . Insofern ist diese Rechnung wertlos in Bezug auf die vorliegenden Folge.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lukases2
Stimmt, die Folge wird natürlich nie kleiner als 1. Aber trotzdem ist sie doch beschränkt, halt nach unten hin, oder nicht?

Sie ist auch nach oben beschränkt. smile

Zitat:
Original von Lukases2
Nein. Eigentlich ist Beschränktheit ja so definiert:

Gilt das dann nicht nur für nach oben hin beschränkte Folgen?

Wenn eine Folge beschränkt ist, dann ist sie nach oben und nach unten beschränkt.

Zitat:
Original von Lukases2
Wenn eine Folge nach unten beschränkt ist, werden doch seine Werte nie kleiner als

Wieso dies? verwirrt
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie scheine ich mich dann beim abschreiben verschrieben zu haben. Es geht dann wohl doch um

Die ist dann auch offensichtlich unbeschränkt. Damit habe ich ja schonmal einen Teil verstanden Engel

Aber wie komme ich jetzt auf dieses ? Ich habe den Sinn nicht ganz geschnallt ...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Der Sinn des Ganzen ist, daß du für jedes beliebige C ein N finden mußt, so daß |a_n| > C ist für alle n > N.

Mit der Rechnung wird dann gezeigt, wie man ein solches N finden kann.
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mir jetzt eine neue Folge anschaue, dann kann ich wieder anfangen:



Und jetzt muss ich das besagt finden, aber wie?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da in diesem Fall b_n beschränkt ist, macht es wenig Sinn, die Unbeschränktheit zeigen zu wollen. Augenzwinkern
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da in diesem Fall b_n beschränkt ist, macht es wenig Sinn, die Unbeschränktheit zeigen zu wollen.

Klar, habe ich gesehen (allerdings erst, nachdem ich das hier geschrieben habe Big Laugh ). Ich kann also hier kein finden, aber woher weiß ich denn genau, wann ich keins finden kann? Man sieht es ja nicht jeder Folge direkt an, ob sie beschränkt oder unbeschränkt ist, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lukases2
Man sieht es ja nicht jeder Folge direkt an, ob sie beschränkt oder unbeschränkt ist, oder?

Nun ja, mit etwas Übung schon. Augenzwinkern
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre ja schön.
Die Wurzelfunktion als Folge ist



Das war's jetzt? Was ich auch noch nicht verstanden habe: warum immer ? Reicht es nicht, zu nehmen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Notation: Mit meinst du allem Anschein nach die nächstgrößere ganze Zahl? verwirrt

Für diese Aufrundungsfunktion hat sich die Symbolik eingebürgert.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lukases2


Formal korrekt sieht es so aus:
Für alle n mit n > N ist:

Ein Hinweis, daß dabei die Monotonie der Wurzel ausgenutzt wurde, wäre auch ganz nett. smile

Zitat:
Original von Lukases2
Was ich auch noch nicht verstanden habe: warum immer ? Reicht es nicht, zu nehmen?

Man möchte eben ein ganzzahliges N haben. Augenzwinkern
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für diese Aufrundungsfunktion hat sich die Symbolik eingebürgert.

Als wir Beschränktheit gemacht haben, hatten wir die Gauß-Klammer (so heißt sie doch, oder?) noch nicht eingeführt und mein Professor nimmt das sehr ernst. Ich darf also ausschließlich Mittel verwenden, die wir auch in der Vorlesung gemacht haben.
Mittlerweile haben wir die Klammer allerdings eingeführt, sodass das jetzt also kein Problem mehr sein sollte. Tatsächlich ist auch genau das gemeint Augenzwinkern
Danke für eure Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lukases2
Als wir Beschränktheit gemacht haben, hatten wir die Gauß-Klammer (so heißt sie doch, oder?) noch nicht eingeführt und mein Professor nimmt das sehr ernst. Ich darf also ausschließlich Mittel verwenden, die wir auch in der Vorlesung gemacht haben.

Nun ja, diese Aufrundungsfunktion (mit "Gaußklammer" im eigentlichen Sinne ist eher die Abrundungsfunktion gemeint) ist ja nun kein Satz, den man irgendwie beweisen muss etc, es ist schlicht eine Bezeichnung, die man auf Nachfrage natürlich erklären können muss. Deswegen fällt es mir schwer anzuerkennen, dass man die Symbolik verwenden darf, dagegen aber nicht. Augenzwinkern
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

  • Beh.: Die Folge ist beschränkt.
  • Bew.:




Ist die Aufgabe so richtig gelöst?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nein, das was du schreibst ist kein Beweis und sogar ziemlich sinnfrei. Es ist bestenfalls eine schlechte Wiedergabe der Behauptung.

Zitat:

Bitte, wie?
Es soll gezeigt werden, dass ein C existiert. C kann nicht beliebig sein, z.B. C=1/2 erfüllt die Bedingungen nicht.
Du musst hier ein konkretes C angeben was die Bedingungen erfüllt.

Zitat:

Was soll dieses N hier tun? Es kommt in der Behauptung auch nirgendwo wo vor.
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Es existiert aber ja auch ein . ist doch immer kleiner als dieses , oder nicht?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es existiert aber ja auch ein

Ja, z.B. C=1/2. Das erfüllt nicht sin(n) < C.


Zitat:
ist doch immer kleiner als dieses , oder nicht?

Was hat sin(C) < C mit der Aufgabe zu tun?
Du musst dir schon auch genau anschauen was du beweisen willst und nicht irgendwas hernehmen was vielleicht mal bei einer anderen Aufgabe gefragt war.


Natürlich existiert so ein C. Deine Aufgabe im Beweis ist zu zeigen, dass so ein C existiert.
Du behauptest es nur.
Gib eines konkret an, dann hast du es gezeigt.
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Gib eines konkret an, dann hast du es gezeigt.


Jetzt ist auf jeden Fall immer größer als . Wieso ist das jetzt allgemein gültig? Ich erkenne, dass das hier immer so ist, aber irgendwie kann ich mich da mit dieser "mathemtischen Methode" nicht anfreunden.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und was ist hier b?
Gib eines konkret an, z.B. C=2.
Für die Existenz reicht es ein Element anzugeben. Also gib eines an, nicht mehrere: Das ist überflüssig und lenkt nur vom wesentlichen ab.

Zitat:
Ich erkenne, dass das hier immer so ist, aber irgendwie kann ich mich da mit dieser "mathemtischen Methode" nicht anfreunden.

- Wenn du es nicht beweisen kannst, erkennst du es nicht. Dann vermutest du.
- Keine Ahnung was du mit "mathematische Methode" meinst. Klare und präzise Formulierung sind ein essentieller Teil der Mathematik.

Was man hier sinnvollerweise verwendet ist für alle reellen x.
Wie man das beweist hängt von der verwendeten Defintiion der sinus-Funktion ab.
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also würde es ausreichen zu sagen: ?
Zitat:
Wie man das beweist hängt von der verwendeten Defintiion der sinus-Funktion ab.

Um Beschränktheit zu zeigen, muss ich das dann auch beweisen?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lukases2
Also würde es ausreichen zu sagen: ?

Wie bereits erwähnt, ist Methematik keine Ansammlung von Formeln. Da muss schon eine anständiger, erklärender deutscher Satz drumrum.

Zitat:

Zitat:
Wie man das beweist hängt von der verwendeten Defintiion der sinus-Funktion ab.

Um Beschränktheit zu zeigen, muss ich das dann auch beweisen?

Das hängt davon ab, was in der Vorlesung bereits bewiesen wurde oder was vorausgesetzt wird.
Das kann ich ohne Glaskugel nicht beantworten.
Lukases2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir die Folge selber ausgedacht. Wir haben bezüglich der Beschränktheit bei trigonometrischen Funktionen nichts gemacht. Die Folgen, die wir gemacht haben sehen alle so aus, wie die am Anfang dieses Themas. Deshalb habe ich auch mit diesem hantiert.
Ist denn der Beweis sehr umfangreich? Wenn ja, dann vermute ich mal (oder hoffe ich?), dass wir da sowas nicht in der Klausur bekommen würden.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Solche Fragen kann du nur der Dozent bzw. die Assistenten der Vorlesung beantworten.
Frag diese.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Beschränktheit folgt sehr schön aus .
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

@IFidfU: Und wie beweist du die Aussage dann?
Aus der geom. Defintion des Sinus folgt die Aussage ja auch direkt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mal von der Definition
ausgegangen. Dann ist das ausmultiplizieren. Falls
so kann man mit etwas mehr Arbeit zeigen, dass es die obere Formel erlaubt.
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