VZW Kriterium bei Funktionenscharen

03.03.2015, 14:31

Bangarangface

VZW Kriterium bei Funktionenscharen

Hallo,

ich habe mal eine generelle Frage. Ich lerne gerade für meine Klausur und komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

Ich soll ziegen, dass es für a<0 es keine Hochpunkte gibt.

Hier ist mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = x^{4} - ax^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_{a}(x) = 4x^{3} - 2ax \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_{a}(x) = 12x^{2} - 2a \end{eqnarray*}$

Nun habe ich f'(x) = 0 berechnet und folgende Extremstellen erhalten.

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{0.5a} \vee x= -\sqrt{0.5a} \end{eqnarray*}$

Da die Wurzel von einer negativen Zahl nicht existiert (a<0) muss ich das VZW - Kriterium anwenden. Doch wie geht das? Oder ist damit bereits bewiesen, dass es hierfür keine Hochpunkte gibt? Hochpunkte gibt es ja nicht, aber evtl. könnten das ja TP sein, wie kann ich hiermit nun weiterrechnen? Wie würde in so einem Fall das VZW - Kriterium funktionieren?

Grüße,

Alex

03.03.2015, 14:40

klarsoweit

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RE: VZW Kriterium bei Funktionenscharen

Zitat:

Original von Bangarangface
Nun habe ich f'(x) = 0 berechnet und folgende Extremstellen erhalten.

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{0.5a} \vee x= -\sqrt{0.5a} \end{eqnarray*}$

Da hast du eine Nullstelle unterschlagen.

Zitat:

Original von Bangarangface
Da die Wurzel von einer negativen Zahl nicht existiert (a<0) muss ich das VZW - Kriterium anwenden.

Unfug. Wenn a < 0 ist, existieren die von dir betrachteten Nullstellen nicht. Folglich ist die notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Extrempunktes nicht erfüllt.
Wie gesagt: eine Nullstelle fehlt aber noch.

03.03.2015, 14:48

Bangarangface

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RE: VZW Kriterium bei Funktionenscharen
Ja, die Nullstelle x = 0 habe ich mal außen vorgelassen, die ist ja ein TP. Gar keine Frage.

Mal angenommen, dass jetzt $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt und ich diese Nullstellen habe und wir mal annehmen, dass wenn ich das in die zweite Ableitung einsetze 0 als Ergebnis raus kommt, wie würde ich dann ein VZW - Kriterium anwenden?

Wie mache ich ein VZW - Kriterium mit dem x wert x = $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5a} \end{eqnarray*}$

Wie würde das gehen?

Beste Grüße,

Alex Wink

03.03.2015, 15:03

klarsoweit

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RE: VZW Kriterium bei Funktionenscharen
Du müßtest schauen, ob es eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5a} \end{eqnarray*}$ gibt, wo die 1. Ableitung links von $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5a} \end{eqnarray*}$ ein anderes Vorzeichen hat als rechts von $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5a} \end{eqnarray*}$ .

03.03.2015, 15:16

Bangarangface

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RE: VZW Kriterium bei Funktionenscharen
Also kann ich einfach $\begin{eqnarray*} f'(\sqrt{0.5a} +1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(\sqrt{0.5a} -1) \end{eqnarray*}$ berechnen, und wenn sich die Vorzeichen wechseln habe ich einen HP bzw TP und wenn nicht einen Sattelpunkt?

Grüße, und danke.

Alex

04.03.2015, 07:52

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RE: VZW Kriterium bei Funktionenscharen
So einfach ist es nun auch wieder nicht. Es könnte sein, daß die Funktion so komisch ist, daß du mit dem "+ 1" bzw. "- 1" schon zu weit von der Extremstelle weggegangen bist, so daß die Vorzeichen der Ableitungen wieder gleich sind. Was du suchen mußt, ist ein epsilon > 0, so daß f'(x) auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5a} < x < \sqrt{0.5a} + \epsilon \end{eqnarray*}$ ein anderes Vorzeichen hat als auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5a} - \epsilon < x < \sqrt{0.5a} \end{eqnarray*}$ .

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