Tangente von Punkt an Kugel

03.03.2015, 15:52	jenseirik	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangente von Punkt an Kugel Meine Frage: Hallo Zusammen, ich habe eine Frage bezüglich Vektorrechnungen Die Aufgabe lautet wie folgt: Gegeben sei ein Kreis $\begin{eqnarray} K : (x+2)^{2} + (y-5)^{2} + (z-3)^{2} = 196 \end{eqnarray}$ und der Punkt $\begin{eqnarray} T : (14/-3/19) \end{eqnarray}$ . Ein vom Punkt T ausgehender Strahl trifft die Kugel tangential in einem Punkt B. Berechnen sie die die Länge der Strecke $\begin{eqnarray} \vec{BF} \end{eqnarray}$ gemäss der Skizze. [attach]37382[/attach] Meine Ideen: Ich komme selbst eigentlich ziemlich weit. Ich kann ja den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{MT} \end{eqnarray}$ berechnen, und mit dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ die Gerade $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ berechnen. Ich komme damit auf folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} k:\vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 16 \\ -8 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Den Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray} \vec{MT} \end{eqnarray}$ kann ich ja berechnen, indem ich $\begin{eqnarray} r=0.5 \end{eqnarray}$ einsetze. So komme ich zum Punkt, den ich mit $\begin{eqnarray} P : (6/1/11) \end{eqnarray}$ bezeichne. Den Abstand zu $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ kann ich berechnen, da $\begin{eqnarray} r = \frac{1}{2} * \|\vec{MT} \| = 12 \end{eqnarray}$ ist. Nun erstelle ich eine neue Kugel $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ mit dem Mittelpunkt in $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , die durch den Mittelpunkt $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ geht und den Tangentialberührungspunkt $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ beinhaltet. $\begin{eqnarray} C: (x-6)^{2} + (y-1)^{2} + (z-11)^{2} = 144 \end{eqnarray}$ Wenn sich zwei Kugeln schneiden, so bilden sie bekanntlich einen Schnittkreis. Dessen Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ kann ich ja ebenfalls berechnen, da ich weiss, dass es sich dabei um die Schnittmenge handelt, also kann ich folgendes behaupten: $\begin{eqnarray} E = K - C \end{eqnarray}$ Führe ich das aus, so erhalte ich die Ebene $\begin{eqnarray} E : 4x-2y+4z =43 \end{eqnarray}$ . So weit so gut, müsste bis jetzt eigentlich alles stimmen, habe die Ebene mit Geogebra überprüft und sie beinhaltet tatsächlich den ganzen Schnittkreis. Ich weiss, dass der Schnittkreis die Menge aller Punkte bildet, von der ich von T aus eine Tangente an die Kugel legen kann. Wenn ich einen Punkt auf diesem Schnittkreis finde, so kann ich die Aufgabe lösen, nämlich mit dem Lotfusspunktverfahren. So kann ich dann locker den Abstand von B zur Gerade k berechnen, und die Aufgabe ist in trockenen Tüchern. Nur weiss ich nicht, wie ich diesen Punkt genau finden soll. Grundsätzlich ist meine Idee nun, dass die Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ die Kugel $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ in den Punkten im Schnittkreis schneiden muss. Nun könnte ich die beiden gleichsetzen und erhalte dann folgendes: $\begin{eqnarray} 12x - x^{2} +2y - y^{2} + 22z - z^{2} - 14 = 0 \end{eqnarray}$ Nun ist das eine GLeichung mit drei Unbekannten, es gibt also unendlich viele Lösungen. Nun müsste man ja z.B. $\begin{eqnarray} y ,z \end{eqnarray}$ frei wählen, und dann so $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bestimmen. Für $\begin{eqnarray} y,z = 1 \end{eqnarray}$ ergäbe das einen x-Wert von $\begin{eqnarray} x =(\sqrt{11} + 3) \end{eqnarray*}$ . Das Problem liegt aber darin, dass dieser Punkt die Kugelgleichung nicht erfüllt. Was mache ich falsch ?
03.03.2015, 17:18	jenseirik	Auf diesen Beitrag antworten »
gelöst
03.03.2015, 17:50	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
da hast du aber mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Im rechtwinkleigen 3eck gilt doch - mit den üblichen Bezeichnern $\begin{eqnarray} 2A=a\cdot b=h\cdot c\to h=\frac{a\cdot b}{c} \end{eqnarray}$ und von den 3 Seiten kennt man ja schon 2, die 3. liefert der Pythagoras

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