Verteilung Summe gleichverteilter Zufallsvariablen

03.03.2015, 17:28	miipo1	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung Summe gleichverteilter Zufallsvariablen Hallo, es hapert bei mir an folgendem Schritt in einer Aufgabe: $\begin{eqnarray} <br /> P(\sum\limits_{k=1}^{n} X_k = t) \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray} \left[z_1, z_2\right] \end{eqnarray}$ verteilt ist? Viele Grüße
03.03.2015, 18:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{align} X_i \end{align}$ sind stetig gleichverteilt sowie (nehme ich an) unabhängig, und du suchst wirklich eine Wahrscheinlichkeit $\begin{align} =t \end{align}$ für deren Summe? Dann lautet die Antwort schlicht Null. ----------------------------- Falls du aber die Verteilungsfunktion $\begin{align} F_n(t) = P\left( \sum_{k=1}^n X_k \leq t \right) \end{align}$ suchen solltest: Zweckmäßig wäre es, das ganze erstmal auf gleichmäßig $\begin{align} [0,1] \end{align}$ -verteilte Zufallsgrößen zurückzuführen, d.h. wir betrachten $\begin{align} Y_k = \frac{X_k-z_1}{z_2-z_1} \end{align}$ . Dann ist $\begin{align} F_n(t) = P\left( \sum_{k=1}^n Y_k \leq \frac{t-z_1}{z_2-z_1} \right) = G_n\left( \frac{t-z_1}{z_2-z_1} \right) \end{align}$ , wobei $\begin{align} G_n \end{align}$ die entsprechende Verteilungsfunktion der Summe von $\begin{align} n \end{align}$ unabhängigen gleichmäßig $\begin{align} [0,1] \end{align}$ -verteilten Zufallsgrößen sein möge. Es ist nun $\begin{align} G_1(t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\;t<0 \\ t & \;\mbox{für}\;0\leq t\leq 1 \\ 1 & \;\mbox{für}\;t>1\end{cases} \end{align}$ sowie per Faltung $\begin{align} G_n = G_{n-1} G_1 \end{align}$ : $\begin{align} G_n(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} G_{n-1}(t-x) ~ \dd G_1(x) = \int\limits_0^1 G_{n-1}(t-x) ~ \dd x \end{align}$ für $\begin{align} n\geq 2 \end{align}$ . Konkret berechnet ufert das schnell ziemlich aus: $\begin{align} G_2(t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\;t<0 \\ \frac{t^2}{2} & \;\mbox{für}\;0\leq t\leq 1 \\ 1-\frac{(2-t)^2}{2} & \;\mbox{für}\;1< t\leq 2 \\ 1 & \;\mbox{für}\;t>2\end{cases} \end{align}$ $\begin{align} G_3(t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\;t<0 \\ \frac{t^3}{6} & \;\mbox{für}\;0\leq t\leq 1 \\ \frac{1}{6}(3-9t+9t^2-2t^3) & \;\mbox{für}\;1< t\leq 2 \\ 1-\frac{(3-t)^3}{6} & \;\mbox{für}\;2< t\leq 3 \\ 1 & \;\mbox{für}\;t>3\end{cases} \end{align}$ . Für große $\begin{align} n \end{align}$ nähert sich das gemäß Zentralem Grenzwertsatz der Normalverteilung $\begin{align} \mathcal{N}\left( \frac{n}{2}, \frac{n}{12} \right) \end{align*}$ .

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